Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи

Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи.
Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую, и в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел ai, или bj.
Затем, из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя.
Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.
Отыскиваемый элемент равен c11=14. Для этого элемента запасы равны 113, потребности 137. Т.к. min является 113, то вычитаем его.x11 = min(113,137) = 113.
14 x x x x 113 - 113 = 0
38 36 20 33 0 227
23 29 21 35 0 172
27 28 22 31 0 198
137 - 113 = 24 163 154 206 50
Отыскиваемый элемент равен c23=20. Для этого элемента запасы равны 227, потребности 154. Т.к. min является 154, то вычитаем его.x23 = min(227,154) = 154.
14 x x x x 0
38 36 20 33 0 227 - 154 = 73
23 29 x 35 0 172
27 28 x 31 0 198
24 163 154 - 154 = 0 206 50
Отыскиваемый элемент равен c31=23. Для этого элемента запасы равны 172, потребности 24. Т.к. min является 24, то вычитаем его.x31 = min(172,24) = 24.
14 x x x x 0
x 36 20 33 0 73
23 29 x 35 0 172 - 24 = 148
x 28 x 31 0 198
24 - 24 = 0 163 0 206 50
Отыскиваемый элемент равен c42=28. Для этого элемента запасы равны 198, потребности 163. Т.к. min является 163, то вычитаем его.x42 = min(198,163) = 163.
14 x x x x 0
x x 20 33 0 73
23 x x 35 0 148
x 28 x 31 0 198 - 163 = 35
0 163 - 163 = 0 0 206 50
Отыскиваемый элемент равен c44=31. Для этого элемента запасы равны 35, потребности 206. Т.к. min является 35, то вычитаем его.x44 = min(35,206) = 35.
14 x x x x 0
x x 20 33 0 73
23 x x 35 0 148
x 28 x 31 x 35 - 35 = 0
0 0 0 206 - 35 = 171 50
Отыскиваемый элемент равен c24=33 . Для этого элемента запасы равны 73, потребности 171. Т.к. min является 73, то вычитаем его.x24 = min(73,171) = 73.
14 x x x x 0
x x 20 33 x 73 - 73 = 0
23 x x 35 0 148
x 28 x 31 x 0
0 0 0 171 - 73 = 98 50
Отыскиваемый элемент равен c34=35. Для этого элемента запасы равны 148, потребности 98. Т.к. min является 98, то вычитаем его.x34 = min(148,98) = 98.
14 x x x x 0
x x 20 33 x 0
23 x x 35 0 148 - 98 = 50
x 28 x 31 x 0
0 0 0 98 - 98 = 0 50
Отыскиваемый элемент равен c35=0. Для этого элемента запасы равны 50, потребности 50. Т.к. min является 50, то вычитаем его.x35 = min(50,50) = 50.
14 x x x x 0
x x 20 33 x 0
23 x x 35 0 50 - 50 = 0
x 28 x 31 x 0
0 0 0 0 50 - 50 = 0
В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность потребителей удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.
B1 B2 B3 B4 B5 Запасы
A1 14[113] 37 25 32 0 113
A2 38 36 20[154] 33[73] 0 227
A3 23[24] 29 21 35[98] 0[50] 172
A4 27 28[163] 22 31[35] 0 198
Потребности 137 163 154 206 50
Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 8, а должно быть m + n - 1 = 8. Следовательно, опорный план является невырожденным.
Значение целевой функции для этого опорного плана равно:
F(x) = 14∙113 + 20∙154 + 33∙73 + 23∙24 + 35∙98 + 0∙50 + 28∙163 + 31∙35 = 16702
Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vj по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vj = cij, полагая, что u1 = 0.
u1 + v1 = 14; 0 + v1 = 14; v1 = 14u3 + v1 = 23; 14 + u3 = 23; u3 = 9u3 + v4 = 35; 9 + v4 = 35; v4 = 26u2 + v4 = 33; 26 + u2 = 33; u2 = 7u2 + v3 = 20; 7 + v3 = 20; v3 = 13u4 + v4 = 31; 26 + u4 = 31; u4 = 5u4 + v2 = 28; 5 + v2 = 28; v2 = 23u3 + v5 = 0; 9 + v5 = 0; v5 = -9
v1=14 v2=23 v3=13 v4=26 v5=-9
u1=0 14[113] 37 25 32 0
u2=7 38 36 20[154] 33[73] 0
u3=9 23[24] 29 21 35[98] 0[50]
u4=5 27 28[163] 22 31[35] 0
Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых ui + vj > cij
(3;2): 9 + 23 > 29; ∆32 = 9 + 23 - 29 = 3 > 0
(3;3): 9 + 13 > 21; ∆33 = 9 + 13 - 21 = 1 > 0
max(3,1) = 3
Выбираем максимальную оценку свободной клетки (3;2): 29
Для этого в перспективную клетку (3;2) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».
1 2 3 4 5 Запасы
1 14[113] 37 25 32 0 113
2 38 36 20[154] 33[73] 0 227
3 23[24] 29[+] 21 35[98][-] 0[50] 172
4 27 28[163][-] 22 31[35][+] 0 198
Потребности 137 163 154 206 50
Цикл приведен в таблице (3,2 → 3,4 → 4,4 → 4,2).
Из грузов хij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е