Производятся независимые испытания некоторого оборудования

Случайная величина ξ – число сбоев при испытании оборудования – имеет следующие возможные значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Найдем вероятности этих возможных значений по формуле Бернулли
Pξ=m=Pnm=Cnmpmqn-m
n=8 – число испытаний.
p=0,25 – вероятность сбоя оборудования при одном испытании.
q=1-p=1-0,25=0,75 – вероятность того, что не произойдет сбой оборудования при одном испытании.
P80=C80∙0,250∙0,758=8!0!8!∙0,758≈0,1001
P81=C81∙0,251∙0,757≈8!1!7!∙0,033371≈0,267
P82=C82∙0,252∙0,756≈8!2!6!∙0,011124=0,3115
P83=C83∙0,253∙0,755≈8!3!5!∙0,003708≈0,2076
P84=C84∙0,254∙0,754=8!4!4!∙0,001236≈0,0865
P85=C85∙0,255∙0,753≈8!5!3!∙0,000412≈0,0231
P86=C86∙0,256∙0,752≈8!6!2!∙0,000137≈0,0038
P87=C87∙0,257∙0,751=8!7!1!∙0,000046≈0,0004
P88=C88∙0,258∙0,750=8!8!0!∙0,000015≈0
Случайная величина ξ распределена по биномиальному закону.
Ряд распределения случайной величины ξ имеет вид
ξ
0 1 2 3 4 5 6 7 8
p
0,1001 0,267 0,3115 0,2076 0,0865 0,0231 0,0038 0,0004 0
Математическое ожидание
Mξ=xipi=0∙0,1001+1∙0,267+2∙0,3115+3∙0,2076+4∙0,0865+5∙0,0231+6∙0,0038+7∙0,0004+8∙0=0,267+0,623+0,6228+0,346+0,1155+0,0228+0,0028=1,9999≈2
Дисперсия
Dξ=xi2pi-Mξ2=02∙0,1001+12∙0,267+22∙0,3115+32∙0,2076+42∙0,0865+52∙0,0231+62∙0,0038+72∙0,0004+82∙0-22=0,267+1,246+1,8684+1,384+0,5775+0,1368+0,0196-4=5,4993-4=1,4993≈1,5
Также можно определить числовые характеристики исходя из того, что случайная величина ξ имеет биномиальное распределение, тогда
Mξ=np=8∙0,25=2; Dξ=npq=8∙0,25∙0,75=1,5
Вероятность того, что в результате проведения испытаний будет 3 сбоя
Pξ=3=P83≈0,2076