Произвести статистическую обработку ряда наблюдений измеряемой величины с учетом объема этого ряда. Выявить и исключить промахи в результатах наблюдений, выдвинув (если возможно) гипотезу о законе распределения с заданной доверительной вероятностью. Определить значение результата измерения, предполагая отсутствие систематической погрешности. Определить случайную среднеквадратическую погрешность результата измерения. Построить гистограмму результатов наблюдений. Сделать вывод о правомерности выдвинутой ранее гипотезы. Значения ряда наблюдений по вариантам приведены в таблице.
№ варианта Доверительная вероятность Р Набор ряда наблюдений
09 0,95 304, 294, 326, 308, 306, 291, 281, 279, 281, 263, 291, 321, 295, 293, 283, 313, 307, 292, 290, 311, 310, 305, 315, 295, 283
Решение
1. Т.к. по условию задачи предполагается отсутствие систематической погрешности, то: , тогда — исправленный ряд измерений.
2. По исправленным результатам измерений определяем их среднее арифметическое значение
Найденное среднее арифметическое является состоятельной, несмещенной и эффективной оценкой математического ожидания при нормальном распределении результатов наблюдений, а также состоятельной и несмещенной оценкой при любых симметричных (относительно ) распределениях, т.е. .
3. Оценим случайную погрешность каждого отдельного измерения:
Если выполняется условие , то пункты 2 и 3 вычислены правильно.
Строим вариационный ряд:
n = 25 ; ;
Таблица 1
n
1 263 -34,48 1188,87
2 279 -18,48 341,5104
3 281 -16,48 271,5904
4 281 -16,48 271,5904
5 283 -14,48 209,6704
6 283 -14,48 209,6704
7 290 -7,48 55,9504
8 291 -6,48 41,9904
9 291 -6,48 41,9904
10 292 -5,48 30,0304
11 293 -4,48 20,0704
12 294 -3,48 12,1104
13 295 -2,48 6,1504
14 295 -2,48 6,1504
15 304 6,52 42,5104
16 305 7,52 56,5504
17 306 8,52 72,5904
18 307 9,52 90,6304
19 308 10,52 110,6704
20 310 12,52 156,7504
21 311 13,52 182,7904
22 313 15,52 240,8704
23 315 17,52 306,9504
24 321 23,52 553,1904
25 326 28,52 813,3904
4. Находим СКО однократных измерений:
=
где — оценочное значение СКО.
Очевидно, что с увеличением числа наблюдений n возрастает точность оценок и . Разность характеризует случайную погрешность определения математического ожидания, т.е. случайную погрешность результата n-кратного измерения.
Очевидно, что случайная погрешность также имеет некоторое среднеквадратическое отклонение . Его оценка определяется соотношением
,
из которого следует, что результат n-кратного измерения имеет в раз меньше СКО по сравнению с результатом единичного измерения .
Следует иметь в виду, что если среди результатов измерений имеются отдельные измерения, резко отличающиеся от остальных в большую или меньшую сторону, прежде всего, следует проверить, не являются ли эти результаты или промахами, связанными с опиской, ошибкой в снятии показаний и т
. п. Если промахи не установлены, следует проверить, не являются ли эти результаты грубыми погрешностями. Проверка проводится статистическим методом и сводится к сравнению нормированного отклонения или с максимальным маловероятным нормированным отклонением результата наблюдения , которое могло бы иметь место при данном распределении и числе наблюдений . Малая вероятность такого отклонения задается уровнем значимости , определяющим вероятность нахождения случайной величины между %-ным квантилем и . Значение обычно выбирают от 1 до 10%. Значения для нормального распределения при заданных и приведены в таблице 2
Таблица 2
Если указанной отклонение проверяемого результата наблюдения оказывается больше , его следует считать грубой погрешностью, которая, как и промах, должна быть исключена их полученной совокупности результатов наблюдения. После этого следует повторить их обработку с учетом меньшего числа .
Для или , находим . Проведём исключение грубых ошибок:
x(1) =xmin = 263, x(25) = xmax = 326
При этом: tmin= |xmin-|/σ , tmax= |xmax-|/σ.
Сравним не является грубой ошибкой и остается в выборке.
Сравнимне является грубой ошибкой и остается в выборке.
Таким образом, первоначальная выборка остается в исходном виде, так как грубые ошибки в ней отсуствуют.
Выдвинем гипотезу о нормальном законе распределения ряда наблюдений с заданной доверительной вероятностью
Интервальные оценки погрешности, определяющие границы интервала, внутри которого находятся значения случайной погрешности
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
