Произвести обработку результатов прямых многократных измерений

Определение точечных оценок закона распределения результатов измерений
Таблица 2 - Результаты вычислений
№ п/п xi
xi-x
(xi-x)2
1 15,1 -0,35625 0,12691
2 15,2 -0,25625 0,06566
3 15,5 0,04375 0,00191
4 15,4 -0,05625 0,00316
5 15,5 0,04375 0,00191
6 15,6 0,14375 0,02066
7 15,3 -0,15625 0,02441
8 15,4 -0,05625 0,00316
9 15,4 -0,05625 0,00316
10 15,5 0,04375 0,00191
11 15,3 -0,15625 0,02441
12 15,5 0,04375 0,00191
13 15,4 -0,05625 0,00316
14 15,6 0,14375 0,02066
15 16,2 0,74375 0,55316
16 15,4 -0,05625 0,00316
x=1ni=1nxi=15,46
i=1n(xi-x)2=0,859
Определим среднее арифметическое результатов измерений:
x=1ni=1nxi=15,46
Среднее квадратическое отклонение результатов наблюдений
Sx=1n-1i=1n(xi-x)2=116-10,859=0,239
Проверим на наличие грубых погрешностей по критерию Диксона
Составляется вариационный возрастающий ряд из результатов измерений: 15,1; 15,2; 15,3; 15,4; 15,5; 15,6; 16,2. Находится расчетное значение критерия для значения 16,2
Kд=xn-xn-1xn-x1=16,2-15,616,2-15,1=0,55
Таблица 3 – Значения критерия Диксона
n Zq при q, равном
0,1 0,05 0,02 0,01
16 0,28 0,33 0,39 0,43
Согласно таблице 3 при значении n=16, значение 16,2 является промахом при всех критериях значимости.
Отбрасываем значение 16,2 и повторно рассчитываем среднее арифметическое и СКО:
Таблица 4 – Результаты вычислений
№ п/п xi
xi-x
(xi-x)2
1 15,1 -0,356 0,12691
2 15,2 -0,256 0,06566
3 15,5 0,044 0,00191
4 15,4 -0,056 0,00316
5 15,5 0,044 0,00191
6 15,6 0,144 0,02066
7 15,3 -0,156 0,02441
8 15,4 -0,056 0,00316
9 15,4 -0,056 0,00316
10 15,5 0,044 0,00191
11 15,3 -0,156 0,02441
12 15,5 0,044 0,00191
13 15,4 -0,056 0,00316
14 15,6 0,144 0,02066
15 15,4 -0,056 0,00316
x=1ni=1nxi=15,41
i=1n(xi-x)2=0,306
x=1ni=1nxi=15,41
Среднее квадратическое отклонение результатов наблюдений
Sx=1n-1i=1n(xi-x)2=115-1·0,306=0,148
Предварительная оценка вида распределения результатов измерений или случайных погрешностей
Выберем число интервалов - 6.
xmax=15,6
xmin=15,1
Ширина интервала:
h=15,6-15,16=0,08
Подсчитаем число результатов измерений (m), попавших в каждый интервал:
Таблица 5 – Результаты вычислений
Интервал 15,1-15,18 15,18-15,26 15,26-15,34 15,34-15,42 15,42-15,5 15,5-15,6
m 1 1 2 5 4 2
Построим гистограмму распределения результатов измерений (рисунок 1):
Рисунок 1 – Гистограмма распределения результатов измерений
Оценка закона распределения по статистическим критериям
При числе данных 15 < n < 50 трудно судить о виде распределения . Поэтому для проверки соответствия распределения данных нормальному распределению используют составной критерий. Если гипотеза о нормальности отвергается хотя бы по одному из критериев, считают, что распределение результатов измерения отлично от нормального.
Критерий 1. Вычисляют значение d по формуле
d=i=1nxi-xn·S*=1,66915·0,143=0,78
где S* – смещенное СКО;
S*=i=1nxi-x2n=0,30615=0,143
Гипотеза о нормальности распределения подтверждается, если
d1-q<d<dq
Таблица 6 - Значения процентных точек q для распределения d
Уровень значимости q, % Число результатов измерений
11 16 21 26 31 36 41 46
1 – q/2 99,0 0,67 0,68 0,69 0,70 0,71 0,72 0,72 0,72
95,0 0,72 0,72 0,73 0,74 0,74 0,74 0,75 0,75
90,0 0,74 0,74 0,75 0,75 0,76 0,76 0,76 0,76
q/2 10,0 0,89 0,87 0,86 0,86 0,85 0,85 0,84 0,84
5,0 0,91 0,89 0,88 0,87 0,86 0,86 0,85 0,85
1,0 0,94 0,91 0,90 0,89 0,88 0,88 0,87 0,87
Для числа результатов измерений n=15 и уровня значимости 95%:
0,72<d<0,89
0,72<0,78<0,89
Следовательно, гипотеза о нормальности распределения подтверждается.
Критерий 2