Произведено выборочное обследование роста 25 студентов и получены следующие результаты (в см)

А) найти выборочную среднюю
Объем выборки равен n=25.
Выборочная средняя определяется по формуле:
x=i=1xin
x=4325,525=173,02
б) составить интервальное распределение выборки с шагом h=5, взяв за начало первого интервала х0=155
Получим интервальное распределение. В табл. 1 в первой строке располагаем границы полученных интервалов, а во второй – количество значений выборки, попадающих в соответствующий интервал.
Табл. 1. Интервальное распределение
[xi;xi+1)
155–160 160–165 165–170 170–175 175–180 180–185 185–190
ni
1 3 5 7 4 3 2
Контроль: ni=1+3+5+7+4+3+2=25=n.
в) построить полигон и гистограмму частот
Перейдем от частичных интервалов к их серединамxi* (табл. 2).
xi*
157,5 162,5 167,5 172,5 177,5 182,5 187,5
ni
1 3 5 7 4 3 2
Полигон частот это ломаная, соединяющая соседние точки x*i;ni.
Найдем относительные частоты по формуле:
wi=nin, где n=ni=25.
Затем найдем плотности относительных частот: wih, h – длина интервала, h=5.
Результаты сведем в таблицу 3:
номер интервала
i интервал
Ji-Ji+1
сумма частот вариант интервала
ni
относительные частоты
wi=nin
плотности относительных частот,wih
1 155-160 1 0,04 0,008
2 160-165 3 0,12 0,024
3 165-170 5 0,2 0,04
4 170-175 7 0,28 0,056
5 175-180 4 0,16 0,032
6 180-185 3 0,12 0,024
7 185-190 2 0,08 0,016
Построим гистограмму относительных частот . Построим на оси абсцисс данные частичные интервалы, а по оси ординат откладываем плотности относительных частот.
Вид гистограммы позволяет считать рассматриваемое распределение нормальным.
г) проверить с помощью критерия Пирсона при заданном уровне значимости гипотезу о том, что случайная величина – количественный признак генеральной совокупности имеет нормальное распределение. 0,05
По итогам предыдущих вычислений имеем: выборочная средняя: x=173,02. По условию σ=7
Объединение интервалов с малочисленными частотами
В выборке присутствуют интервалы, содержащие малочисленные эмпирические частоты (ni<5) – первый, второй, шестой и седьмой интервалы. Поэтому объединим первый, второй и третий, последний и предпоследний интервалы, сложив соответствующие частоты. В результате получим следующую выборку:
xi..xi+1
155–170 170–175 175–180 180–190
ni
9 7 4 5
Количество интервалов t=4.
Нормирование Х.
Пронормируем Х, т.е. перейдем к случайной величине Z=X-xs, и вычислим концы интервалов zi=xi-xs, причем наименьшее значение Z, т.е. z1, полагают равным -∞, а наибольшее – равным ∞.
Для вычислений составим расчётную таблицу 5.
Табл