Привести уравнение линий 2-го порядка к каноническому виду

9x2+4y2+36x+16y+16=0
Сравнивая заданное уравнение с общим уравнением алгебраической линии второго порядка
a11x2+2a12xy+a22y2+2a1x+2a2y+a0=0
Выпишем коэффициенты
a11=9; a12=0; a22=4; a1=18; a2=8; a0=16.
Поскольку a12=0, то поворот системы координат делать не нужно. В уравнении имеются квадраты обеих неизвестных. Преобразуем левую часть заданного уравнения, выделяя полные квадраты:
9x2+4y2+36x+16y+16=0
9x2+4x+4y2+4y+16=0
9x2+4x+4-36+4y2+4y+4-16+16=0
9x+22+4y+22=36
9x+2236+4y+2236=1
x+224+y+229=1
Следовательно, уравнение можно записать в виде
x+2222+y+2232=1
Таким образом, получили неканоническое уравнение эллипса в системе координат Oxy.
Далее, делаем замену x'=x+2y'=y+2, получаем x'222+y'232=1 в системе координат O'x'y'.
Это уравнение похоже на каноническое уравнение эллипса, однако, его коэффициенты не удовлетворяют неравенству a≥b a=2<b=3, поэтому переименуем координатные оси, т.е . сделаем замену x'=y''y'=x'', после которой окончательно получаем каноническое уравнение эллипса x''232+y''222=1 в системе координат O''x''y''.
4x2-16y2+8x-64y-124=0
Выпишем коэффициенты
a11=4; a12=0; a22=-16; a1=4; a2=-32; a0=-124.
Поскольку a12=0, то поворот системы координат делать не нужно. В уравнении имеются квадраты обеих неизвестных. Преобразуем левую часть заданного уравнения, выделяя полные квадраты:
4x2-16y2+8x-64y-124=0
4∙x2+2x-16∙y2+4y-124=0
4∙x2+2x+1-1-16∙y2+4y+4-4-124=0
4∙x2+2x+1-4-16∙y2+4y+4+64-124=0
4∙x+12-16∙y+22-64=0
4∙x+12-16∙y+22=64
x+12-4∙y+22=16
x+1216-y+224=1
Следовательно, уравнение можно записать в виде
x+1242-y+2222=1
Таким образом, получили неканоническое уравнение гиперболы в системе координат Oxy.
Далее, делаем замену x'=x+1y'=y+2, получаем x'242-y'222=1 в системе координат O'x'y'.
y2+8x-4y-20=0
y2-2∙2∙y+-22--22+8x-20=0
y2-4y+4-4+8x-20=0
y-22+8x-24=0
y-22+8x-3=0
y-22=-8x-3
Каноническое уравнение параболы имеет вид
y2=2px
Положим y'=y-2 и x'=x-3 – выполним параллельный перенос