Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду

Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду ортогональным преобразованием, определить тип кривой и координаты ее фокусов. 3 x2 – 2 xy + 3 y2 – 6 x + 2 y + 1 = 0.

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Матрица квадратичной формы имеет вид
A=3-1-13.
Найдем собственные значения матрицы. Определитель равен
3-λ-1-13-λ=0.
λ2 – 6 λ + 8 = 0,
λ1 = 4, λ2 = 2.
Найдем собственные векторы.
(3 – 4) x1 – x2 = 0,
x1 = C, x2 = -C.
Первый нормированный собственный вектор
X2=12-12 .
(3 – 2) x1 – x2 = 0
x1 = C, x2 = C.
X2=1212 .
Матрица преобразования
T=1212-1212.
Преобразуем координаты по формулам
x = x’ t11 + y’ t12 = 12x'+12y',
y = x’ t21 + y’ t22 = -12x'+12y',
Уравнение кривой
4 x'2+2 y'2-612x'+12y'+2-12x'+12y'+1=0,
4 x'2+2 y'2-82x'-42y'+1=0.
Выполним аддитивное преобразование координат.
x'=x"+42, y'=y"+22.
4x"2+2y"2=2,
2x"2+y"2=1.
Кривая – эллипс с полуосями 12 и 1.
Координаты фокусов эллипса в преобразованной системе координат
x"=0, y"1,2=±b2-a2=±1-12=±12.
Далее,
x'=x"+42=42,
y'1=y"1+22=32

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу