Приведены результаты проверки скорости чтения (знаков в минуту) у первокурсников

Исследование статистических данных начнѐм с группировки, т.е. с разбиения всех наблюденных значений непрерывной случайной величины Х из табл. А на 6 интервалов длиной:
h=xmax-xmins=142-1366=1
За начало первого интервала примем: x1=xmin=136, x2=136+1=137, а конец последнего: x6=xmax=142.
В результате получим интервальный ряд :
Интервал (xi;xi+1]
Частота mi
Относительная частота ωi=min
ωih
xi*=xi-1+xi2
[136;137] 4 0,08 0,08 136,5
(137;138] 6 0,12 0,12 137,5
(138;139] 12 0,24 0,24 138,5
(139;140] 6 0,12 0,12 139,5
(140;141] 7 0,14 0,14 140,5
(141;142] 15 0,3 0,3 141,5
∑ 50 1
2. Для того, чтобы составить предварительное представление о характере распределения значений случайной величины Х, построим еѐ гистограмму и полигон относительных частот.
3. Найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график.
Эмпирическая функция распределения находится по формуле:
Fnx=nxn
nx – количество наблюдений(вариантов) меньших х.
n - объем выборки.
Тогда эмпирическая функция распределения имеет вид:
Fnx=0 при х≤1360,08 при 136<х≤1370,2 при 137<х≤1380,44 при 138<х≤1390,56 при 139<х≤1400,7 при 140<х≤1411 при х>141
Построим эмпирическую функцию распределения
4. Для нахождения выборочной средней X, выборочной дисперсии D(X), выборочного среднего квадратического отклонения σ(X) (статистические аналоги соответствующих числовых характеристик случайной величины) заполним вспомогательную таблицу.
i
xi*
mi
xi*mi
xi*-X2
xi*-X2mi
1 136,5 4 546 9,1204 36,4816
2 137,5 6 825 4,0804 24,4824
3 138,5 12 1662 1,0404 12,4848
4 139,5 6 837 0,0004 0,0024
5 140,5 7 983,5 0,9604 6,7228
6 141,5 15 2122,5 3,9204 58,806
∑
50 6976
138,98
Находим среднее арифметическое выборки:
X=1ni=16xi*mi=697650=139,52
Находим выборочную дисперсию:
D(X)=1ni=16xi*-X2mi=138.9850=2,7796
Найдем среднее квадратическое отклонение
σ(X)=DX=2,7796≈1,67
Найдем исправленное среднее квадратическое отклонение
s=nn-1∙D(X)=5050-1∙2,7796≈1,68
Для вычисления коэффициента ассиметрии и эксцесса составим расчетную таблицу
i
xi*
mi
xi*-X3mi
xi*-X4mi
1 136,5 4 -110,174 332,7268
2 137,5 6 -49,4544 99,89798
3 138,5 12 -12,7345 12,98919
4 139,5 6 -0,000048 0,00000096
5 140,5 7 6,588344 6,456577
6 141,5 15 116,4359 230,543
∑
50 -49,3392 682,6136
Выборочный центральный момент 3-го порядка вычислим по формуле:
μ3*=1ni=16xi*-X3mi=-49,339250=-0,9868
Находим выборочный коэффициент ассиметрии:
η=μ3*σ3=-0,98681,673≈-0,212
Так как η<0 свидетельствует о левосторонней ассиметрии .
Выборочный центральный момент 4-го порядка вычислим по формуле:
μ4*=1ni=16xi*-X4mi=682,613650≈13,6523
Находим выборочный коэффициент эксцесса:
ε=μ4*σ4-3=13,65231,674-3≈1,755-3=-1,245
Поскольку ε<0, то распределение более плосковершинное (сплюснутое), чем нормальное.
Вычислим коэффициент вариации
V*=σ(X)X∙100%=1,67139,52∙100%≈0,012∙100%=1,2%
Поскольку V*≤30%, то совокупность однородная, а вариация слабая.
5. Полученный коэффициент вариации 0,012 попадает в диапазон 0,08;0,40.
Для предварительного выбора закона распределения используют коэффициенты асимметрии, эксцесс и их средние квадратичные отклонения:
Еη=S (n-1)n+1(n+3)=6∙(50-1)50+1(50+3)≈0,33
Еε=24nn-2(n-3)(n-1)n+3(n+5)=24∙50∙50-2(50-3)(50-1)50+3(50+5)≈4,35
А так же для нормального закона распределения должны выполняться неравенства: η<3Еη и ε<3Еε
В нашем случае: -0,212<3∙0,33 и -1,245<3∙4,35.
Неравенства выполняются.
На основании полученных результатов можно предположить, что случайная величина X распределена по нормальному закону с плотностью вероятности:
fx=11,672π∙e-(x-139,52)22∙1,672
Тогда интегральную функцию распределения можно записать в
Fx=12+Фx-139,521,67
Здесь Х=139,52 - точечная оценка параметра а, а σ(Х)=1,67 - параметра σ