Приведены данные о числе первокурсников в группах по институту в целом:
25 20 21 22 23 25 25 29 21 24
20 21 25 24 25 21 21 25 23 23
21 21 25 25 23 25 26 27 23 21
23 23 23 22 24 23 25 24 21 23
25 24 23 26 21 24 23 23 24 21
Для исследования полученных данных необходимо выполнить следующее:
1. Составить интервальный статистический ряд значений признака Х, разбив весь диапазон наблюдаемых значений на 5-7 интервалов
2. Построить гистограмму и полигон относительных частот полученных измерений.
3. Найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график.
4. Вычислить среднее арифметическое выборки, выборочную дисперсию, выборочное среде квадратическое отклонение, выборочные коэффициенты асимметрии и вариации, эксцесс.
5. Сделать предварительный выбор закона распределения случайной величины Х.
6. Проверить согласия эмпирической функции распределения с выбранным законом распределения с помощью критерия согласия.
7. Найти интервальные оценки параметров нормального закона распределения с доверительной вероятностью 0,95.
8. Найти необходимый объем выборки для уменьшения предельной ошибки в два раза, учитывая, что проводилась случайная повторная выборка.
Решение
Исследование статистических данных начнѐм с группировки, т.е. с разбиения всех наблюденных значений непрерывной случайной величины Х из табл. А на s=6 интервалов длиной:
∆x=xmax-xmins=29-206=1,5
За начало первого интервала примем: x1=xmin=20, а конец последнего: x7=xmax=29.
В результате получим интервальный ряд :
Интервал [xi;xi+1)
Частота mi
Относительная частота ωi=min
ωi∆x
xс*=xi-1+xi2
20-21,5 13 0,26 0,17 20,75
21,5 – 23 2 0,04 0,03 22,25
23 – 24,5 20 0,4 0,27 23,75
24,5 – 26 11 0,22 0,15 25,25
26 – 27,5 3 0,06 0,04 26,75
27,5 – 29 1 0,02 0,01 28,25
∑ 50 1
2. Для того, чтобы составить предварительное представление о характере распределения значений случайной величины Х, построим гистограмму и полигон относительных частот.
3. Найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график.
Тогда эмпирическая функция распределения имеет вид:
Fnx=0 при x≤200,26 при 20<x≤21,50,30 при 21,5<x≤230,70 при 23<x≤24,50,92 при 24,5<x≤260,98 при 26<x≤27,51 при x>27,5
Построим эмпирическую функцию распределения
4. Для нахождения выборочной средней X, выборочной дисперсии D(X), выборочного среднего квадратического отклонения σ(X) (статистические аналоги соответствующих числовых характеристик случайной величины) заполним вспомогательную таблицу.
i
xс*
mi
xс*mi
xс*-X2
xс*-X2mi
1 20,75 13 269,75 7,62 99,03
2 22,25 2 44,5 1,59 3,18
3 23,75 20 475 0,06 1,15
4 25,25 11 277,75 3,03 33,30
5 26,75 3 80,25 10,50 31,49
6 28,25 1 28,25 22,47 22,47
∑
50 1175,5
190,62
а) Находим среднее арифметическое выборки:
X=1ni=16xс*mi=1175,550=23,51
б) Находим выборочную дисперсию:
D(X)=1ni=16xс*-X2mi=190,6250=3,81
в) Найдем среднее квадратическое отклонение
σ(X)=DX=3,81≈1,95
Для вычисления коэффициента ассиметрии и эксцесса составим расчетную таблицу
i
xi*
mi
xс*-X3mi
xс*-X4mi
1 20,75 13 -273,32 754,36
2 22,25 2 -4,00 5,04
3 23,75 20 0,28 0,07
4 25,25 11 57,95 100,83
5 26,75 3 102,04 330,60
6 28,25 1 106,50 504,79
∑
50 -10,56 1695,69
Выборочный центральный момент 3-го порядка вычислим по формуле:
μ3*=1ni=16xс*-X3mi=-10,5650=-0,21
г) Выборочный коэффициент асимметрии:
η=μ3*σ3=-0,211,953≈-0,028
Выборочный центральный момент 4-го порядка вычислим по формуле:
μ4*=1ni=16xс*-X3mi=1695,6950=33,91
д) Выборочный коэффициент эксцесса:
ε=μ4*σ4-3=33,911,954-3=2,35-3=-0,65
е) Выборочный коэффициент вариации
υ=σ(X)X∙100%=1,9523,51∙100%≈8,3%
Посколькуυ≤30%, то совокупность однородная, а вариация слабая
.
5. Полученный коэффициент вариации 0,083 попадает в диапазон 0,08;0,40.
Для предварительного выбора закона распределения используют коэффициенты асимметрии, эксцесс и их средние квадратичные отклонения:
Еη=S (n-1)n+1(n+3)=6∙(50-1)50+1(50+3)≈0,33
Еε=4Snn-2(n-3)(n-1)n+3(n+5)=4∙6∙50∙50-2(50-3)(50-1)50+3(50+5)≈4,35
А так же для нормального закона распределения должны выполняться неравенства: η<3Еη и ε<3Еε
В нашем случае: -0,028<3∙0,33 и -0,65<3∙4,35.
Неравенства выполняются.
На основании полученных результатов можно предположить, что случайная величина X распределена по нормальному закону с плотностью вероятности:
fx=12,52π∙e-(x-23,51)22∙1,952
Тогда интегральную функцию распределения можно записать в
Fx=12+Фx-23,511,95
Здесь Х=23,51 - точечная оценка параметра а, а σ(Х)=1,95 - параметра σ
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
