Приведена выборка 108 результатов измерений случайной величины Х
Построить интервальный вариационный ряд (ряд 1) по частотам, относительным частотам и накопленным частотам.
От ряда 1 перейти к точечному вариационному ряду (ряд 2).
Начертить полигоны частот и относительных частот, кумуляту (по ряду 2) и гистограммы частот и относительных частот (по ряду 1).
Записать аналитически и построить графически статистическую функцию распределения (по ряду 2).
Найти выборочные средние: среднюю арифметическую, среднюю геометрическую, среднюю гармоническую; выборочную дисперсию, выборочное среднеквадратическое отклонение, коэффициенты вариации и асимметрии (по ряду 2).
Определить моду и медиану графически и аналитически (по рядам 1 и 2).
На основе анализа гистограммы и статистической функции распределения оценить близость эмпирического распределения к нормальному закону, проверить гипотезу о том, что случайная величина Х имеет нормальный закон распределения по критерию Пирсона ().
При заданной надежности γ = 0,95 построить доверительные интервалы для неизвестного математического ожидания а, неизвестной дисперсии D и среднего квадратического отклонения σ случайной величины Х в предположении, что выборка извлечена из генеральной совокупности, подчиненной нормальному закону.
№ задания Значения случайной величины Х
59
702
471
715
721
724
482
491
740
493
508
702
410
611 529 685 552 791 726 810 731 614 667 719 738
608 705 519 630 743 611 702 793 701 656 713 800
479 483 614 773 569 705 615 602 786 774 736 615
535 651 538 793 442 540 800 684 753 731 695 649
613 789 846 687 724 758 613 610 454 558 532 763
786 424 498 519 468 626 621 615 654 767 781 776
665 810 447 541 666 742 629 568 463 499 614 423
539 652 478 617 449 535 758 715 616 558 469 643
Решение
Число интервалов разбиения выборки определяется по
формуле Стерджеса.
n = 1 + 3,322 lg N = 7.
Минимальное значение выборки
xmin = 410.
Максимальное значение выборки
xmax = 846.
Размах выборки
R = xmax – xmin = 436.
Размер интервала разбиения
Δ = R/n = 62.
Распределив значения выборки по интервалам, запишем интервальный
вариационный ряд 1 в таблицу.
Интервалы (410,
472) (472,
534) (534,
596) (596,
658) (658,
720) (720,
782) (782,
846)
Середины
интервалов xi 441 503 565 627 689 751 814
Частоты ni 11 13 11 23 18 21 11
Относитель-
ные частоты wi 0,102 0,120 0,102 0,213 0,167 0,194 0,102
Функция расп-
ределения Fi 0,102 0,222 0,324 0,537 0,704 0,898 1,00
В таблице указаны также частоты, относительные частоты и функция
распределения.
Полигон частот построен на рис. 1, полигон относительных частот построен
на рис. 2, кумулята построена на рис. 3, гистограмма частот построена на
рис. 4, гистограмма относительных частот построена на рис
. 5.
Рис. 1
Рис. 2
Рис. 3
Рис. 4
Рис. 5
Функция распределения имеет вид
0,102, 410 ≤ x < 472
0,222472 ≤ x < 534
Fx= 0,324 534 ≤ x < 596
0,537 596 ≤ x < 658
0,704 658 ≤ x < 720
0,898 720 ≤ x < 782
1,00 782 ≤ x < 846.
График статистической функции распределения построен на рис. 6.
Найдем числовые характеристики распределения.
Рис. 6
Средняя арифметическая
x=i=17xiwi= 441 0,102 + 503 0,120 + 565 0,102 + 627 0,123 +
+ 689 0,167 + 751 0,194 + 814 0,102 = 584.
Cредняя геометрическая
xг=i=17xiwi=353.
Cредняя гармоническая
xгарм=i=17xiwi= 584.
Выборочная дисперсия
D== (441 – 584)2 0,102 + (503 – 584)2 0,120 + + (565 – 584)2 0,102 + (627 – 584)2 0,123 + (689 – 584)2 0,167 +
+ (751 – 584)2 0,194 + (814 – 584)2 0,102 = 15800.
Выборочное среднеквадратическое отклонение
i=17xi- x2wiσ = D=126.
Коэффициент вариации
V=σx100%=21,6%.
Центральный момент третьего порядка
m3=i=17xi- x3wi=1,991∙106.
Коэффициент асимметрии
A=m3σ3=1,003.
Аналитическое значение для моды
Mo=xн+∆nM0-nM-1nM0-nMo-1+nM0-nMo+1,
где xн – начальная (нижняя) граница модального интервала;
Δ – величина интервала;
nMo – частота модального интервала;
nMo-1 – частота интервала, предшествующего модальному;
nMo+1 – частота интервала, следующего за модальным.
Mo=596+6223-1223-12+23-18=639.
Аналитическое значение для медианы
Mе=xн+∆n2-SMe-1nMe,
где xн – нижняя граница медианного интервала;
SMe-1 – накопленная частота до медианного интервала,
nMе– частота модального интервала;
Mе=596+621082-3523=647,
Из гистограммы распределения получаем
Mo = Me = 627.
На основе анализа гистограммы и статистической функции распределения делаем вывод, что эмпирическое распределения близко к нормальному закону
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
