Применяя почленное дифференцирование или интегрирование

Отмечаем, что исходный ряд сходится при x<1, а при x=1 сходится условно.
Почленно дифференцируя ряд, имеем:
x22-x33+x44-…'=x-x2+x3-…
Получили геометрическую прогрессию со знаменателем q=-x и первым членом ряда b1=x . Тогда:
x-x2+x3-…=x1+x=1-11+x
Чтобы найти сумму исходного ряда, интегрируем полученное выражение:
x22-x33+x44-…=1-11+xdx=x-ln1+x+C
Далее, поскольку при x=0 сумма ряд должна также равняться нулю, определяем C:
0=0-ln1+C C=0
Окончательно имеем (при x<1):
x22-x33+x44-…=x-ln(1+x)