Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения

1. Изобразим механическую систему в конечном ее положении , покажем кинематические характеристики всех ее элементов после прохождения телом 1 путь , а также обозначим внешние силы и моменты сил, действующие на систему на данном участке пути.
Рис. 1 Расчетная схема механической системы.
2. Для определения значения скорости тела 1 применим теорему об изменении кинетической энергии механической системы
(1)
где и - кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях;
и - сумма работ внешних сил и внутренних сил, действующих на систему;
Поскольку система приходит в движение из состояния покоя, то
Для механической системы, состоящей из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями

Следовательно уравнение (1) принимает вид
3. Кинетическая энергия системы в момент времени, когда тело А пройдет путь S.
- движение тела 1 поступательное;
- движение тела 2 вращательное вокруг неподвижной оси.
Поскольку тело 2 является блоком, состоящим из двух, жестко соединенных между собой тонких однородных дисков одинаковой толщины и плотности, момент инерции равен

где и - моменты инерции малого и большого однородных тонких дисков, образующих тело 2.
При этом (2)
где и - массы этих дисков.
Определим значения и , руководствуясь тем, что диски имеют одинаковую толщину и изготовлены из одного и того же материала с плотностью . Тогда
(3)
Из уравнений (2) и (3) получим:

Определим тела 2

Угловую скорость тела 2 представим через линейную скорость тела 1.

Окончательно кинетическая энергия тела 2, выраженная через скорость
Кинетическая энергия тела 3
- движение катка 3 плоскопараллельное.

где - скорость центра масс тела 3;
- момент инерции тела 3 относительно оси, проходящей через центр масс тела перпендикулярно плоскости его движения;
- угловая скорость вращения тела 3.
Поскольку тело 3 является однородным тонким диском с десятью () вырезанными секторами его момент инерции равен

где - момент инерции однородного диска радиуса относительно оси, проходящей через центр масс тела перпендикулярно плоскости его движения;
- момент инерции вырезанного в диске элемента (сектора) относительно оси вращения тела 3.
Площадь элемента, вырезанного в диске
.
Масса элемента, вырезанного в дичке

Момент инерции тела в форме сектора как момент инерции тела произвольной формы

Не приводя вывод формулы запишем
Учитывая массу момент инерции элемента равен
Учитывая массу тела 3 без вырезанных элементов (массу сплошного диска 3) и массу одного вырезанного элемента (сектора), имеет массу тела

Определим значения и , считая, что диск и вырезанные в форме сектора элементы имеют одинаковую толщину и изготовлены из одного и того же материала плотности

;
Определим момент инерции тела 3

Тогда кинетическая энергия тела 3 равна
где ;
.
.
Составим выражение общей кинетической энергии

Сумма работ определяется как алгебраическая сумма работ внешних сил и моментов сил, приложенных к элементам механической системы на том же перемещении
где - значения работ внешних сил и моментов сил, приложенных к телам 1, 2 и 3 на конечном перемещении.
Тело 1 проходит путь под действием силы тяжести , равной
,
где - ускорение свободного падения на поверхности Земли.
Работа силы тяжести

Сила тяжести тела 2 работу не совершает, так как тело 2 совершает вращательное движение вокруг неподвижной оси