Применение принципа возможных перемещений
к определению реакций опор составной конструкции
Задание
Применяя принцип возможных перемещений, определить реакции опор составной конструкции. Схема конструкции показана на рис. 1, а необходимые для решения данные приведены в табл. 1.
Таблица 1
Номер
условия a
F
P
M
q
α
β
м кН кН кН·м кН/м град град
5 2 8 20 20 1 30 60
centerbottomB
α
A
C
β
P
F
q
a
a
a
a
a
M
Рис. 1
00B
α
A
C
β
P
F
q
a
a
a
a
a
M
Рис. 1
Дано:
-3810246126000a=2 м;
F= 8 кН;
P= 20 кН;
M= 20 кН·м;
q= 1 кН/м;
α= 30°;
β= 60°
Найти: XA, YA, MA, RB
Решение
Конструкция, состоящая из двух тел AC и BC, имеет в точке B шарнирно-подвижную опору, а в точке A – жесткое защемление. Следовательно, реакция в точке B имеет только одну вертикальную составляющую RB, а реакция заделки – три: горизонтальную составляющую XA, вертикальную YA и момент MA.
Найдем реакцию подвижной опоры B, для чего мысленно отбросим эту связь, заменив ее действие реакцией RB (рис. 2). При этом система получает одну степень свободы – поворот части BC вокруг точки C, тогда как часть AC остается неподвижной.
Разложим силу F на горизонтальную и вертикальную составляющие:
F'=Fsinα=8∙sin30°=8∙0,5=4 кН;
F''=Fcosα=8∙cos30°=8∙32≈6,93 кН.
Рама AC неподвижна, а рама BC может поворачиваться вокруг оси неподвижного шарнира C. Сообщим системе возможное перемещение (поворот) δφ>0. Составим уравнение элементарных работ, выражающее принцип возможных перемещений, учитывая, что работа силы при вращении тела равна произведению момента силы относительно центра вращения на угол поворота и положительна, если направления момента и угла поворота совпадают:
centertopB
A
C
β
P
F'
q
a
a
a
a
a
M
Рис. 2
F''
RB
δSD
D
δφ
δφ
δSB
00B
A
C
β
P
F'
q
a
a
a
a
a
M
Рис. 2
F''
RB
δSD
D
δφ
δφ
δSB
RBa∙δφ-M∙δφ-F'a∙δφ-F''a∙δφ=0,
RBa-M-F'a-F''a∙δφ=0.
Так как δφ>0, то равенство выполняется лишь в том случае, если выражение в скобках равно нулю. Отсюда
RB=Ma+F'+F''=202+4+6,93=20,93 кН.
Для определения горизонтальной составляющей заделки XA представим опору A в виде ползуна в горизонтальных направляющих и приложим реакцию XA (рис
. 3).
Равномерно распределенную нагрузку q заменим сосредоточенной силой Q=q∙2a=1∙2∙2=4 кН, а силу P по аналогии с силой F разложим на горизонтальную и вертикальную составляющие:
P'=Pcosβ=20∙cos60°=20∙0,5=10 кН;
P''=Psinβ=20∙sin60°=20∙32≈17,32 кН.
centertopB
A
C
P'
F'
Q
a
a
a
a
a
M
Рис. 3
F''
XA
δSD
D
δSA
δSC
δSB
P''
δSA
00B
A
C
P'
F'
Q
a
a
a
a
a
M
Рис. 3
F''
XA
δSD
D
δSA
δSC
δSB
P''
δSA
Поскольку ползун A движется по горизонтальным направляющим и поворот рамы AC запрещен, перемещение шарнира C горизонтально, подвижный шарнир B перемещается горизонтально и мгновенный центр поворота рамы AC находится в бесконечности, то есть конструкция перемещается поступательно.
Сообщим всей конструкции направленное влево возможное поступательное перемещение δS=δSA= δSB=δSC>0. Составим уравнение возможных работ с учетом того, что работа силы при поступательном движении тела равна проекции силы на направление перемещения, умноженной на величину перемещения. Знак работы определяется по знаку проекции силы на направление движения. Если сила перпендикулярна направлению смещения, то ее работа на данном перемещении равна нулю. Момент при поступательном движении работы не совершает.
XA∙δS-Q∙δS-P'∙δS-F'∙δS=0,
XA-Q-P'-F'∙δS=0.
centertopB
A
C
P'
F'
Q
a
a
a
a
a
M
Рис. 4
F''
YA
D
δSA
δSC
δSB
P''
O
δSA
δφ
δφ
00B
A
C
P'
F'
Q
a
a
a
a
a
M
Рис. 4
F''
YA
D
δSA
δSC
δSB
P''
O
δSA
δφ
δφ
Приравнивая нулю выражение в скобках, получим
XA=Q+P'+F'=4+10+4=18 кН.
Для определения вертикальной составляющей YA реакции заделки отбросим связь, препятствующую вертикальному перемещению точки A, заменив жесткую заделку скользящей с вертикальными направляющими и приложив реакцию YA (рис
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
