Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы

Замечание. На рисунке масштабы не соблюдены: это не важно, т.к. решение аналитическое.
1. Изобразим действующие на систему внешние активные силы: силы тяжести P1, P2, P3, P4,P5,; реакции опор N1, N2, N3; силы трения Fтр1, Fтр2; сила F, действующая на тело 1, параллельная направлению его движения, а также реакции подшипников R4,R5 на осях C4 и C5 (их направления не известны, поэтому указываем их в произвольном направлении) и моменты сил сопротивления , направленные против вращения тел 4 и 5.
2. Для решения задачи воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии, являющейся законом сохранения механической энергии для системы:
T-T0=Ake+Aki, (1)
где T0 и T- соответственно начальная и конечная кинетическая энергия системы; Ake- суммарная работа всех внешних сил; Aki- суммарная работа всех внутренних сил.
Рассматриваемая механическая система по условиям задачи состоит из абсолютно твердых тел, соединенных идеальной (нерастяжимой и невесомой) нитью. Для таких систем с идеальными связями не возникают внутренние силы, следовательно, сумма работ всех внутренних сил равна нулю
Aki=0.
Так как в начальный момент система находилась в покое, то T0=0, а конечная кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий всех весомых тел:
T=T1+T2+T3+T4+T5.
Тогда теорема об изменении кинетической энергии системы примет вид
T=Ake. (1)
Тело 1 движется поступательно, следовательно,
T1=12m1VC12.
Тело 2 также движется поступательно, поэтому
T2=12m2VC22.
Тело 3 движется плоскопараллельно, поэтому его кинетическая энергия складывается из кинетической энергии поступательного движения его ЦМ и вращательного движения вокруг мгновенного центра скоростей Q с угловой скоростью ω3:
T3=12m3VC32+12IC3ω32.
(в скобках заметим, что плоскопараллельное движение обладает замечательным свойством: угловая скорость вокруг любой его точки одинаково; поэтому угловая скорость вокруг МЦС и вокруг ЦМ равны; последнее определяет кинетическую энергию вращения).
По условию задачи тело 3 сплошной, однородный цилиндр, поэтому
IC3=12m3R32.
Тогда
T3=12m3VC32+14m3R32∙ω32 .
Шкивы 4 и 5 совершают только вращательное движение вокруг неподвижных осей, поэтому их кинетические энергии соответственно равны
T4=12I4ω42,
T5=12I5ω52.
По условию, массы этих тел распределены по внешнему ободу, поэтому
I4=m4R42;
I5=m5R52.
Тогда
T4=12m4R42ω42;
T5=12m5R52ω52.
Все угловые и линейные скорости выражаем через скорость VC1 ЦМ тела 1.
VA=VC1
ω4=VAR4=VC1R4;
VD=ω4r4=r4R4VC1;
VC2=VK=VD=r4R4VC1;
ω5=VKr5=r4r5R4VC1;
VL=ω5R5=R5r4r5R4VC1;
VC3=VL=R5r4r5R4VC1;
ω3=VC3R3=R5r4R3r5R4VC1.
-6515103810N1
P4
F
45°
30°
C1
1
2
3
P2
VK
A
S1
VC1
VA
L
C3
C2
ω3
B
VB
C5
VC3
VC2
N2
Fтр1
Fтр2
P3
N3
ω4
ω5
C4
5
4
M1
M2
D
VD
K
VL
ω3
P5
R5
R4
60°
Q
P1
00N1
P4
F
45°
30°
C1
1
2
3
P2
VK
A
S1
VC1
VA
L
C3
C2
ω3
B
VB
C5
VC3
VC2
N2
Fтр1
Fтр2
P3
N3
ω4
ω5
C4
5
4
M1
M2
D
VD
K
VL
ω3
P5
R5
R4
60°
Q
P1
Все полученные выражения скоростей подставим в соответствующие выражения кинетических энергий:
T1=12m1VC12;
T2=12m2VC22=12m2r4R42VC12;
T2=12m2r4R42VC12.
T3=12m3VC32+14m3R32∙ω32=12m3R5r4r5R42VC12+14m3R32∙R5r4R3r5R42VC12==12m3R5r4r5R42+12m3∙R5r4r5R42VC12= 34m3∙R5r4r5R42VC12;
T3=34m3∙R5r4r5R42VC12.
T4=12m4R42ω42=12m4R42VC1R42=12m4VC12;
T4=12m4VC12.
T5=12m5R52ω52=12m5R52r4r5R42VC12=12m5R5r4r5R42VC12;
T5=12m5R5r4r5R42VC12
Суммарная кинетическая энергия системы
T=T1+T2+T3+T4+T5=
=12m1VC12+12m2r4R42VC12+34m3∙R5r4r5R42VC12+12m4VC12+
+12m5R5r4r5R42VC12=
=12m1+m2r4R42+32m3∙R5r4r5R42+m4+m5R5r4r5R42VC12.
Обозначим
m=m1+m2r4R42+32m3∙R5r4r5R42+m4+m5R5r4r5R42=
=m1+m2r4R42+32m3+m5∙R5r4r5R42+m4=
=10+2∙0,20,42+32∙3+3∙0,5∙0,20,1∙0,42+2=59,375 кг.
Масса m называется приведенной массой механической системы.
Окончательно,
T=29,688VC12