Применение теоремы об изменении кинетической энергии
.pdf
Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥
Применение теоремы об изменении кинетической энергии
Механическая система состоит из грузов 3 и 4, коэффициент трения которых о плоскость k=0,1, сплошного цилиндрического катка 5 и ступенча-тых шкивов 1 и 2 с радиусами ступеней R1=0,3 м; r1=0,1 м ;R2=0,2 м; r2=0,1 м . Массы шкивов равномерно распределены по их внешним контурам (рис. Д2.2, табл. Д2, строка 2). Тела системы соединены друг с другом нитями, намотанными на шкивы; участки нитей параллельны соответствующим плоскостям.
Под действием силы F=F(S), которая зависит от перемещения S точки приложения силы, система приходит в движение из состояния покоя. При движении системы на шкивы 1 и 2 действуют постоянные моменты сил сопротивлений, равные, соответственно, M1 и M2.
Определить значение искомой величины в тот момент времени, когда перемещение точки приложения силы равно S. Искомая величина указана в столбце «Найти» табл. Д2 (VC5- скорость ЦМ катка 5).
Исходные данные (номер условия 2; номер рисунка Д2.2)
Номер условия Масса тел
системы, кг Момент сил сопротивления Движущая сила, F=FS, Н
Перемещение, S, м
Найти
m2
m4
m5
M2
2 4
8
6
0,4
80(3+4S)
0,8
VC5
Нужно полное решение этой работы?
Ответ
каток 5 движется вниз, по наклонной плоскости, после перемещения на расстояние S=0,8 м, будет иметь скорость VC5=2,88мс.
Решение
Рассмотрим движение изучаемой механической системы. Тела 1 и 3, массы которых нулевые, не будем изображать, так как их кинетические энергии, а также работы внешних сил, действующих на них, равны нулю.
2
P2
K
C2
ω2
VB
30°
P4
4
5
P5
C4
A
VA
B
VC5
F
C5
N5
ω5
ω5
N4
VC4
F4
R2
F2сц
Рис. 1.
M2
00Д2.2
2
P2
K
C2
ω2
VB
30°
P4
4
5
P5
C4
A
VA
B
VC5
F
C5
N5
ω5
ω5
N4
VC4
F4
R2
F2сц
Рис. 1.
M2
2. Для нахождения скорости движения катка VC5 воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии механической системы в интегральной форме:
T-T0=Ake+Aki,
где T0 и T- соответственно начальная и конечная кинетическая энергия системы; Ake- суммарная работа всех внешних сил; Aki- суммарная работа всех внутренних сил.
Определим T0 и T. Так как в начальный момент система находилась в покое, то
T0=0.
Таким образом, исходное уравнение теоремы принимает вид
T=Ake. (1)
Кинетическая энергия системы T вычисляется как сумма кинетических энергий всех весомых тел системы:
T=T5+T2+T4. (2)
Выразим кинетические энергии всех тел системы через искомую по условию задачи скорость VС5, при этом будем последовательно переходить от тела 5 к другим, связанным с ним телам.
Каток 4 совершает плоское движение, вращается вокруг мгновенного центра скоростей K с угловой скоростью ω5, а его центр масс C5 перемещается со скоростью V5, поэтому его кинетическая энергия
T5=m5VC522+J5ω522
. (3)
Каток 5 по условию однородный сплошной цилиндр, поэтому его момент инерции
J5=12m5R52.
Тело 2 вращается вокруг неподвижной оси, поэтому его кинетическая энергия состоит только из энергии вращательного движения, и определяется по формуле
T2=12J2ω22, (4)
где J2=m2R22- момент инерции (по условию, масса шкива распределена по внешнему ободу); ω2- его угловая скорость (ось x направлена перпендикулярно к плоскости чертежа).
Тело 4 совершает поступательное движение, поэтому его кинетическая энергия определяется выражением
T4=12m4VС42. (5)
Все угловые и линейные скорости выражаем через искомую скорость VС5.
Угловая скорость катка
ω5=VC5R5.
Для шкива 2
VB=VC5.
ω2=VBr2=VC5r2.
VA=ω2R2=R2r2VC5
VC4=VA=R2r2VC5.
Все кинематические характеристики и моменты инерций тел подставим в (3), (4) и (5), а потом и в (2)
Заказать работу
на новый заказ в Автор24.
