При сжатии эллипса по направлению большой оси на величину k = a/b

Следовательно, наименьшую площадь для △A1B1C1 получим при наименьшей площади △ABC.
Площадь описанного треугольника равна:
SABC=pr=x+y+zr, где
p – полупериметр треугольника.
Поскольку r = b – постоянная величина, то нужно найти наименьшее значение p:
p= x + y + z = x + y + rtgγ = x + y + rtg(180°-(α + β)) = x + y - rtg (α + β) = x + y –rtg α + tgβ1-tg α ∙ tgβ
p= x + y –rx/r + y/r1-x/r ∙ y/r, отсюда:
p/r= x/r + y/r +x/r + y/rx/r ∙ y/r-1
f(u,v)=u + v+u+vuv-1, где:
f=pr, u=xr=tg α, v=yr=tgβ.
Ищем минимум функции f(u, v).
Найдем частные производные до второго порядка включительно:
f(u,v)=u + v+u +vuv-1
fu'=1+u +vu'∙uv-1-u +v∙uv-1u'(uv-1)2=1+1∙uv-1-u +v∙v(uv-1)2=1-v2+1(uv-1)2
fv'=1+u +vv'∙uv-1-u +v∙uv-1v'(uv-1)2=1+1∙uv-1-u +v∙u(uv-1)2=1-u2+1(uv-1)2
f'uu'=2v(v2+1)(uv-1)3
f'vv'=2u(u2+1)(uv-1)3
fuv''=-v2+1v'∙(uv-1)2-v2+1∙(uv-1)2v'(uv-1)4=-2v∙(uv-1)2-v2+1∙2u(uv-1)(uv-1)4=
=-2v(uv-1)-v2+1∙2u(uv-1)3=--2v-2u(uv-1)3=2(u+v)(uv-1)3
2) Находим стационарные точки (нас интересует только положительные значения u и v):
fu'=1-v2+1(uv-1)2=0fv'=1-u2+1(uv-1)2=0⇒v2+1(uv-1)2=1u2+1(uv-1)2=1⇒u=v(u2-1)2=u2+1⇒u=vu4-3u2=0⇒v=uu2=3⇒v=3u=3
Стационарная точка: M0(3,3).
Полученное решение соответствует равностороннему треугольнику ABC:
tg α=tgβ=3⇒α=β=γ=60°⇒∠A=∠B=∠C=60°.
3) Проверяем достаточное условие экстремума:
A=f'uu'M0=23(32+1)3∙3-13=3
B=f'uv'M0=2(3+3)3∙3-13=32
C=f'vv'M0=23(32+1)3∙3-13=3
AC-B2=3∙3-322=3-34=94>0⇒M03,3- точка экстремума.
Поскольку A > 0 – то это точка минимума:
fmin=3 + 3+3 +33∙3-1=23+232=33
pmin=rfmin=33r
SABCmin=pminr=33r2
SA1B1C1min=ab∙SABCmin=ab∙33r2=ab∙33∙b2=33ab.
Ответ: 33ab.