При изучении зависимости между величиной Y и величиной X было получено 15 пар соответствующих значений этих величин. Аппроксимировать статистическую зависимость Y от X линейной функцией y=ax+b. Вычислить остаточную дисперсию и оценку коэффициента корреляции.
X
-0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4
Y
4,7 4,1 3,4 3,1 2,8 2,9 3,3 3,5 4,1 4,7 5,4 6,5 7,7 8,8 10,3
Решение
Найдем a и b по методу МНК из системы уравнений:
nb+ax=ybx+ax2=xy,
где n=15 – количество уровней ряда.
Вспомогательные расчеты для решения задачи:
∑
x
-0,4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 15
x2
0,16 0,04 0 0,04 0,16 0,36 0,64 1 1,44 1,96 2,56 3,24 4 4,84 5,76 26,2
y
4,7 4,1 3,4 3,1 2,8 2,9 3,3 3,5 4,1 4,7 5,4 6,5 7,7 8,8 10,3 75,3
y2
22,09 16,81 11,56 9,61 7,84 8,41 10,89 12,25 16,81 22,09 29,16 42,25 59,29 77,44 106,1 452,6
xy
-1,88 -0,82 0 0,62 1,12 1,74 2,64 3,5 4,92 6,58 8,64 11,7 15,4 19,36 24,72 98,24
15b+15a=75,315b+26,2a=98,24⇒a+b=5,0226,2a+15b=98,24
Решим систему по правилам Крамера:
∆=1126,215=1∙15-1∙26,2=-11,2;
∆a=5,02198,2415=5,02∙15-1∙98,24=-22,94;
∆b=15,0226,298,24=1∙98,24-5,02∙26,2=-33,284.
Получим:
a=∆a∆=-22,94-11,2≈2,05; b=∆b∆=-33,284-11,2≈2,97.
Уравнение аппроксимации: y=2,05x+2,97.
Sост2=y-y2n-1– остаточная дисперсия, y-прогнозированные значения
функции.
y
4,7 4,1 3,4 3,1 2,8 2,9 3,3 3,5 4,1 4,7 5,4 6,5 7,7 8,8 10,3
y
2,15 2,56 2,97 3,38 3,79 4,2 4,61 5,02 5,43 5,84 6,25 6,66 7,07 7,48 7,89 ∑
y-y2
6,50 2,37 0,18 0,08 0,98 1,69 1,72 2,31 1,77 1,30 0,72 0,03 0,40 1,74 5,81 27,6
Sост2=27,615-1≈1,97.
Найдем выборочный коэффициент корреляции:
rв=nxy-xynx2-x2∙ny2-y2=
=15∙98,24-15∙75,315∙26,2-152∙15∙452,59-75,32≈0,79-
связь между Y и X высокая 0,7<rв<0,9, прямая.
Оценим значимость коэффициента корреляции:
t=rвn-21-rв2=0,79∙15-21-0,792≈4,646.
Случайная величина t следует -распределению Стьюдента
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
