Вероятностно-статистический анализ материалов наблюдений (проверка согласия эмпирического распределения с нормальным)
Исходные данные: результаты измерений ( i = 1,2,.., n) некоторой случайной величины Х, рассматриваемые как случайная выборка объема n из генеральной совокупности; n = 100.
П П р е д п о с л е д н я я ц и ф р а у ч е б н о г о ш и ф р а
П оследняя цифра учебного шифра
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 -0.09 0.15 0.41 0.80 -1.62 1.11 -0.76 -1.59 1.10
0.51
1 -0.75 1.37 -0.98 -0.40 -0.11 0.75 1.63 1.30 0.50
-1.90
3 0.25 -1.33 1.16 1.88 -1.22 1.24 1.47 -0.06 0.25
-1.54
4 0.51 0.45 0.79 -0.08 1.77 1.22 0.47 0.16 0.23
0.54
5 0.53 0.61 -1.14 -1.00 0.56 -0.12 -0.70 -0.44 -0.15
1.27
6 -2.02 0.97 -1.33 0.43 0.26 -0.32 -1.46 -0.62 -1.21
0.29
7 -0.43 0.40 1.24 0.34 -0.12 0.03 1.18 -1.36 0.31
-1.52
8 0.98 0.16 1.23 -1.42 -0.54 -0.28 0.92 0.47 0.07
-2.42
9 0.62 -0.29 0.60 -0.57 0.75 -0.54 -0.40 -0.53 0.87
-1.05
10 1.31 0.38 -0.18 -0.43 2.12 -0.06 -0.51 0.28 0.12
0.00
Данные варианта (92)
-0,09 0,15 0,41 0,80 -1,62 1,11 -0,76 1,59 1,10 0,51
-0,75 1,37 -0,98 -0,40 -0,11 0,75 1,63 1,30 0,50 -1,90
0,25 -1,33 1,16 1,88 -1,22 1,24 1,47 -0,06 0,25 -1,54
0,51 0,45 0,79 -0,08 1,77 1,22 0,47 0,16 0,23 0,54
0,53 0,61 -1,14 1,00 0,56 -0,12 -0,70 -0,44 -0,15 1,27
-2,02 0,97 -1,33 0,43 0,26 -0,32 -1,46 -0,62 -1,21 0,29
-0,43 0,40 1,24 0,34 -0,12 0,03 1,18 -1,36 0,31 -1,52
0,98 0,16 1,23 -1,42 -0,54 -0,28 0,92 0,47 0,07 -2,42
0,62 -0,29 0,60 -0,57 0,75 -0,54 -0,40 -0,53 0,87 -1,05
1,31 0,38 -0,18 -0,43 2,12 -0,06 -0,51 0,28 0,12 0,00
Решение
N=100 - объем выборки;
xmax =2,12 - максимальный элемент выборки;
xmin =-2,42 - минимальный элемент выборки;
R=4,54 - размах выборки;
Примем k = 10 - число интервалов (групп).
Вычислим С = Rk =0,454 - длина интервала (группы).
Вычисление эмпирических характеристик
Таблица 1
Группы xi
Кол-во, fi
xi · fi
Накопленная частота, S |x - xср|·fi
(x - xср)2·fi (x - xср)3·fi (x - xср)4·fi Частота, fi/f
-2,42 – (-1,97) -2,193 2 -4,386 2 4,6308 10,722 -24,826 57,482 0,020
-1,97 – (-1,51) -1,739 4 -6,956 6 7,4456 13,859 -25,798 48,020 0,040
-1,51 – (-1,06) -1,285 8 -10,28 14 11,2592 15,846 -22,302 31,388 0,080
-1,06 – (-0,6) -0,831 6 -4,986 20 5,7204 5,454 -5,200 4,957 0,060
-0,6 – (-0,15) -0,377 15 -5,655 35 7,491 3,741 -1,868 0,933 0,150
-0,15 – 0,30 0,077 20 1,54 55 0,908 0,041 -0,002 0,000 0,200
0,30 – 0,76 0,531 20 10,62 75 8,172 3,339 1,364 0,557 0,200
0,76 – 1,21 0,985 11 10,835 86 9,4886 8,185 7,060 6,090 0,110
1,21 – 1,67 1,439 11 15,829 97 14,4826 19,068 25,105 33,053 0,110
1,67 – 2,12 1,893 3 5,679 100 5,3118 9,405 16,653 29,485 0,030
Итого
100 12,24
89,660 -29,814 211,966 1,000
Нулевая гипотеза о распределении
Н0={Распределение нормальное}
Числовые характеристики и гипотезы
= 12,24/100 =0,1224 - оценка математического ожидания (среднее арифметическое);
σX=89,6699≈0,952 - оценка среднего квадратического отклонения
μ3=-29,814100≈-0,298 - оценка центрального момента 3-го порядка;
μ4=211,966100≈2,12 - оценка центрального момента 4-го порядка;
A=-0,2980.9473≈-0,351 - асимметрия эмпирической кривой;
Н0 ={А = 0} нулевая гипотеза об асимметрии.
σA=6⋅(100-2)(100+1)⋅(100+3)≈0,2377 - оценка среднего квадратического отклонения асимметрии;
E=2,120.9474-3≈2,636-3≈-0,364 - эксцесс эмпирической кривой;
Н0 = {E = 0} нулевая гипотеза об эксцессе;
σE=24⋅100⋅(100-2)⋅(100-3)(100+1)2⋅(100+3)⋅(100+5)≈0,45 - оценка среднего квадратического отклонения эксцесса.
Вычисление теоретических характеристик
Таблица 2
Интервалы группировки Наблюдаемая частота fi
x1 = (xi - xср)/s x2 = (xi+1 - xср)/s Ф(x1) Ф(x2) Вероятность попадания в i-й интервал, pi=Ф(x2)-Ф(x1) Ожидаемая частота, 100pi Слагаемые статистики Пирсона, Ki
-2,42 – (-1,97) 2 -2,835587 -2,329232 -0,4963 -0,4861 0,0102 1,02 0,941569
-1,97 – (-1,51) 4 -2,329232 -1,822877 -0,4861 -0,4573 0,0288 2,88 0,435556
-1,51 – (-1,06) 8 -1,822877 -1,316522 -0,4573 -0,3944 0,0629 6,29 0,464881
-1,06 – (-0,6) 6 -1,316522 -0,810168 -0,3944 -0,2764 0,118 11,8 2,850847
-0,6 – (-0,15) 15 -0,810168 -0,303813 -0,2764 -0,1141 0,1623 16,23 0,093216
-0,15 – 0,30 20 -0,303813 0,202542 -0,1141 0,0753 0,1894 18,94 0,059324
0,30 – 0,76 20 0,202542 0,708897 0,0753 0,2517 0,1764 17,64 0,315737
0,76 – 1,21 11 0,708897 1,215251 0,2517 0,3749 0,1232 12,32 0,141429
1,21 – 1,67 11 1,215251 1,721606 0,3749 0,4484 0,0735 7,35 1,812585
1,67 – 2,12 3 1,721606 2,227961 0,4484 0,4821 0,0337 3,37 0,040623
Итого 100
7,155767
χY2=7,156 - эмпирическое значение критерия согласия Пирсона (критерия 2);
χT2=14,06714 - критическое значение критерия Пирсона, полученное для доверительной вероятности β=0,95 (т.е
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
