При исследовании нового прибора сделано сорок пять измерений величин

Выполним ряд вычислений необходимых для дальнейших исследований в таблице 4
Таблица 4.
Предварительные вычисления
№ п/п Δi, мм |Δ| Δi2 Δi3 Δi4
1 12.60 12.6 158.76 2000.38 25204.74
2 -1.80 1.8 3.24 -5.83 10.50
3 -7.80 7.8 60.84 -474.55 3701.51
4 3.20 3.2 10.24 32.77 104.86
5 9.40 9.4 88.36 830.58 7807.49
6 -1.50 1.5 2.25 -3.38 5.06
7 20.90 20.9 436.81 9129.33 190802.98
8 -4.00 4 16.00 -64.00 256.00
9 3.50 3.5 12.25 42.88 150.06
10 1.90 1.9 3.61 6.86 13.03
11 -2.60 2.6 6.76 -17.58 45.70
12 -19.40 19.4 376.36 -7301.38 141646.85
13 -2.50 2.5 6.25 -15.63 39.06
14 4.90 4.9 24.01 117.65 576.48
15 -0.50 0.5 0.25 -0.13 0.06
16 -8.40 8.4 70.56 -592.70 4978.71
17 -21.90 21.9 479.61 -10503.46 230025.75
18 8.70 8.7 75.69 658.50 5728.98
19 -10.10 10.1 102.01 -1030.30 10406.04
20 -4.10 4.1 16.81 -68.92 282.58
21 4.80 4.8 23.04 110.59 530.84
22 9.00 9 81.00 729.00 6561.00
23 -4.90 4.9 24.01 -117.65 576.48
24 -7.70 7.7 59.29 -456.53 3515.30
25 -18.20 18.2 331.24 -6028.57 109719.94
26 2.80 2.8 7.84 21.95 61.47
27 7.60 7.6 57.76 438.98 3336.22
28 -20.80 20.8 432.64 -8998.91 187177.37
29 6.80 6.8 46.24 314.43 2138.14
30 4.20 4.2 17.64 74.09 311.17
31 6.40 6.4 40.96 262.14 1677.72
32 2.60 2.6 6.76 17.58 45.70
33 15.60 15.6 243.36 3796.42 59224.09
34 -7.00 7 49.00 -343.00 2401.00
35 -5.90 5.9 34.81 -205.38 1211.74
36 18.80 18.8 353.44 6644.67 124919.83
37 -8.90 8.9 79.21 -704.97 6274.22
38 -6.40 6.4 40.96 -262.14 1677.72
39 -8.90 8.9 79.21 -704.97 6274.22
40 11.90 11.9 141.61 1685.16 20053.39
41 13.40 13.4 179.56 2406.10 32241.79
42 -18.00 18 324.00 -5832.00 104976.00
43 10.20 10.2 104.04 1061.21 10824.32
44 11.40 11.4 129.96 1481.54 16889.60
45 -0.60 0.6 0.36 -0.22 0.13
Σ -1.3 382.5 4838.61 -11869.39 1324405.84
[Δ>0] 190.6
[Δ<0] -191.9
[Δ>0]= + 190.6, [Δ<0]= - 191.9, [Δ]= - 1.3, [|Δ|]=382.5, [Δ2]=4838.61
[Δ3]=-11869.39, [Δ4]=1324405.84
1) Вычисление оценок параметров нормального распределения MΔ, σΔ:
MΔ*=[Δ]n=-1.345=0.029 мм
σΔ*=m=∆2n=4838.6145=10.37 мм
Оценка математического ожидания MΔ* отличается от нуля . Применим для обнаружения постоянной систематической ошибки следующий критерий
|MΔ* |≤t ·σΔ* /n
где t выбирается из таблиц Приложения B (при n >30) по вероятности (β=Ф(t)). Находим для β=0,95 t=1,96
t ·σΔ* /n = 1.96 ·10.37 /45=3.03 мм
Как видно из результатов вычислений, критерий выполняется, так как имеет место неравенство
|MΔ* |≤3.03
следовательно, постоянной систематической ошибкой можно пренебречь и считать, что M Δ = 0 .
2) Вычисление средней ошибки ϑ* и коэффициента . k1практ :
ϑ*=[∆]n=382.545=8.50 мм
k1практ=mϑ*=10.378.50=1.22 k1теор=1.25
3) Определение вероятной ошибки r* и коэффициента k2практ
Располагаем истинные ошибки в ряд по возрастанию их абсолютных величин:
0.5 0.6 1.5 1.8 1.9 2.5 2.6 2.6 2.8 3.2 3.5 4.0 4.1 4.2 4.8 4.9 4.9 5.9 6.4 6.4 6.8 7.0
7.6
7.7 7.8 8.4 8.7 8.9 8.9 9.0 9.4 10.1 10.2 11.4 11.9 12.6 13.4 15.6 18.0 18.2 18.8 19.4 20.8 20.9 21.9
Находим
r*=|Δ|23=7.6 мм
k2практ=mr*=10.57.7=1.37 k2теор=1.48
4) Построение статистического группированного ряда.
Распределим погрешности в двенадцати интервалах (длину интервала примем равной половине средней квадратической ошибки, т.е. 0,5·m =5.25 мм), составим таблицу 5.
Таблица 5.
№ п/п Длины интервалов, в долях Длины интервалов в мм Число ошибок
mi Частоты, Ǫi= mi/n Высоты прямоугольников
hi= Ǫi/(0.5·m)
1 -3.0m -2.5m -31.11 -25.92 0 0.00 0.000
2 -2.5m -2.0m -25.92 -20.74 3 0.07 0.013
3 -2.0m -1.5m -20.74 -15.55 2 0.04 0.009
4 -1.5m -1.0m -15.55 -10.37 1 0.02 0.004
5 -1.0m -0.5m -10.37 -5.18 9 0.20 0.039
6 -0.5m 0.0m -5.18 0 8 0.18 0.034
7 0.0m 0.5m 0 5.18 7 0.16 0.030
8 0.5m 1.0m 5.18 10.37 7 0.16 0.030
9 1.0m 1.5m 10.37 15.55 5 0.11 0.021
10 1.5m 2.0m 15.55 20.74 2 0.04 0.009
11 2.0m 2.5m 20.74 25.92 1 0.02 0.004
12 2.5m 3.0m 25.92 31.11 0 0.00 0.000
Σ 45 1.00
5). Построение гистограммы и выравнивающей её кривой плотности нормального распределения.
По данным таблицы 5 (столбцы 2 и 6) строим гистограмму (рис