При центральном растяжении-сжатии бруса (рис.1):
1.Построить эпюры продольной силы N; нормальных напряжений σ; продольных перемещений u.
2. Определить площадь сечений из расчета на прочность и жесткость при допускаемом напряжении [σ]=100 МПа и допускаемом удлинении бруса [∆ℓ]=3·10-2 м.
Модуль упругости участкам Е=2·105 МПа, площадь сечений А и 2А. По всей длине бруcа действует распределенная нагрузка интенсивностью qi=qoAi /A, i-номер участка.
Дано:
Схема № 9 F2=450 кН F3=150 кН F4=100 кН
L2=3 м L3=1 м L4=1 м q0=60 кН/м
Решение
1. Составим расчетную схему бруса.
2. Определим реакцию в заделке.
Fx=R-q*5-F2+F3-F4=0
R=q*5+F2-F3+F4
R=60*5+450-150+100=700 кН
3. Определим внутренние продольные силы в каждом участке стержня.
Участок I x∈0; 3
NI=-R+q*x
при x=0
NI=-700 кН
при x=3
NI=-700+60*3=-520 кН
Участок II x∈0; 1
NII=-R+F2+q*(3+x)
при x=0
NII=-700+450+60*3=-70 кН
при x=1
NII=-700+450+60*4=-10 кН
Участок III x∈0; 1
NIII=-R+F2-F3+q*(4+x)
при x=0
NIII=-700+450-150+60*4=-160 кН
при x=1
NIII=-700+450-150+60*5=-100 кН
По полученным данным строим эпюру N.
4. Определим нормальные напряжения в сечениях стержня.
σ0=NI(x=0)A=-700A
σ1=NI(x=3)A=-520A
σ2=NII(x=0)A=-70A
σ3=NII(x=1)A=-10A
σ4=NIII(x=0)A=-160A
σ5=NIII(x=1)A=-100A
По полученным данным строим эпюру σ.
5. Построим эпюру перемещений.
Вычислим удлинение бруса по участкам
∆LI=-R*LIEA+qLI22EA
E=2*105 МПа=2*104 кН/см2
q=60 кН/м=0,6 кН/см
Длины участков принимаем в сантиметрах.
∆LI=-700*3002*104 A+0,6*30022*2*104 A=-9,15A (см)
∆LII=(-R+F2)*LII+300qLIIEA+qLII22EA
∆LII=-700+450*100+300*0,6*1002*104 A+0,6*10022*2*104 A
∆LII=-0,2A (см)
∆LIII=(-R+F2-F3)*LIII+400qLIII2*104 A+qLIII22EA
∆LIII=-700+450-150*100+400*0,6*1002*104 A+0,6*10022*2*104 A
∆LIII=-0,65A (см)
Вычислим перемещения в характерных сечениях.
∆0=0
∆12=∆LI=-9,15A (см)
∆34=∆LI+∆LII=-9,15A-0,2A=-9,35A(см)
∆5=∆LI+∆LII+∆LIII=-9,15A-0,2A-0,65A=10A(см)
По полученным значениям строим эпюру.
6. Определим площадь сечения бруса по условию прочности.
σmax=NmaxA≤σ
Nmax=700 кН
σ=100 МПа=10 кН/см2
700A≤10
A=70010=70 см2
Из расчета на жесткость:
∆Lmax=Nmax*LEA≤∆L
∆L=12A, значит
A=10∆L=103=3,333 см2
Принимая наибольшее из площадей
A=70 см2
Задача 2. Расчёт статически неопределимого вала на кручение (рис.2).
1) Раскрыть статическую неопределимость: а) составить уравнение равновесия; б) составить уравнение совместности деформаций в усилиях: в) решить полученную систему уравнений. 2) Построить эпюру крутящего момента. 3) Определить размеры поперечных сечений из расчётов на прочность и жёсткость. 4) Построить эпюру угла закручивания
поперечных сечений.
Принять b=d, [τ]=70 Мпа, [Ө]=1 град/м,G=0,8·105 Мпа
Дано:
Схема № 4
M2=0,5 кН*м M3=0,8 кН*м M4=1,6 кН*м a=20 см
L=30 см D/d=2 A/d2=0,4 h/b=2
РЕШЕНИЕ:
1. Составим расчетную схему.
2. Составим уравнения равновесия.
M0+M3- M2-M1+ M4=0
Имеет 1 уравнение и 2 неизвестных.
Необходимо составить уравнение деформации.
3. Выразим крутящие моменты по участкам.
M01=M0
M12=M0+ M3=M0+1,6
M23=M0+ M3-M2= M0+1,6-0,8=M0+0,8
M34=M0+ M3-M2-M1= M0+1,6-0,8-0,5=M0+0,3
4
. Выразим углы поворота в сечениях по каждому участку.
θ01=M01GJ01=M0GJ01
θ12=M12GJ12=M0+1,6GJ12
θ23=M23GJ23=M0+0,8GJ23
θ34=M34GJ34=M0+0,3GJ34
J01=J12=βhb3
При соотношении hb=2, β=0,229,
Таким образом,
J01=J12=0,229*2b*b3=0,458b4
J23=J34=πd432=0,098d4
Поскольку по условию b=d, то запишем
J01=J12=0,458d4
J23=J34=0,098d4
Концы бруса имеют закрепление при помощи тяг, которые могут деформироваться от внешней нагрузки, значит, левый и правый конец могут иметь взаимный угол поворота.
Рассмотрим возможное перемещение концевых сечений.
Выразим ∆L через усилие N0
∆L=N0*LEA
A=0,4d2 E=2*105 МПа L=0,3 м
Таким образом,
∆L=N0*0,3E*0,4d2
Выразим перемещение ∆L через угол поворота сечения
∆L=0,5D*tgφ0, при D=2d
∆L=d*tgφ0
Выразим N0 через момент M0
N0=M0D=M02d, таким образом,
d*tgφ0=M0*0,3E*2d*0,4d2, значит
tgφ0=M0*0,3E*2d*0,4d2*d=0,375M0Ed4
φ0=arctg0,375M0Ed4 (градусов)
φ0=arctg0,375M0Ed4*π180 (рад.)
При малых отклонениях можно полагать, что
φ0=0,375M0Ed4*π180 φ4=0,375M4Ed4*π180
φ0=0,00654M0Ed4 φ4=0,00654M4Ed4
Определим углы поворота сечений.
φ0+φ1+φ2+φ3+φ4=φ4
Eсли начальный угол принять равным нулю, то взаимный угол поворота будет равен
∆φ=φ4-φ0=0,00654(M4-M0)Ed4
Тогда получим,
θ01*L01+θ12*L12+θ23*L23+θ34*L34=∆φ
M0GJ01+M0+1,6GJ12+M0+0,8GJ23+M0+0,3GJ34=0,00654(M4-M0)Ed4
E=2,5G
Подставим значения
M0G*0,458d4+M0+1,6G*0,458d4+M0+0,8G*0,098d4+M0+0,3G*0,098d4=0,00654(M4-M0)2,5G*d4
Сократим G и d4, получим
M00,458+M0+1,60,458+M0+0,80,098+M0+0,30,098=M4-M0382,263
M00,458+M00,458+M00,098+M00,098+M0382,263+1,60,458+0,80,098+0,30,098=M4382,263
24,778M0+14,718=M4382,263
M4=9471,712M0+5626,147
Подставим в уравнение статики
M0+M3-M2-M1+9471,712M0+5626,147=0
M0=-M3+M2+M1-5626,1479472,712
M0=-1,6+0,8+0,5-5626,1479472,712=-0,594 кН*м
M4=-9471,712*0,594+5626,147=0,294 кН*м
Момент M0 направлен в противоположенную сторону.
5. Определим крутящие моменты.
M01=-M0=-0,594 кН*м
M12=-M0+ M3=-0,594+1,6=1,006 кН*м
M23=-M0+ M3-M2=-0,594+1,6-0,8=0,206 кН*м
M34=-M0+ M3-M2-M1=-0,594+1,6-0,8-0,5=-0,294 кН*м
По полученным данным строим эпюру
6. Определим касательные напряжения на каждом участке.
τ=MWK
W01=W12=ahb2
a=0,246
W01=W12=0,246*2b*b2=0,492b3=0,492d3
W23=W34=πd316=0,196d3
τ01=M01W01=-0,5940,492d3=-1,207d3
τ12=M12W12=1,0060,492d3=2,045d3
τ23=M23W23=0,2060,196d3=1,172d3
τ34=M34W34=-0,2940,196d3=-1,5d3
7. Определим углы закручивания.
θ01=M01G J01=-5948*1010*0,458d4=-1,621*10-8d4
θ12=M12G J12=10068*1010*0,458d4=2,746*10-8d4
θ23=M23G J23=2068*1010*0,098d4=2,628*10-8d4
θ34=M34G J34=-2948*1010*0,098d4=-3,75*10-8d4
Наибольшее касательное напряжение возникает на участке 1 – 2.
Наибольший угол закручивания возникает на участке 3 – 4.
8
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
