Представлены данные о наработках 50 агрегатов (узлов систем) до первого и второго отказов. Подберите статистическую модель (закон распределения) нараюотки до первого и второго отказов на основании вероятностных сеток. Составьте интервальный ряд распределения. Постройте гистограмму относительных частот и кумулятивную кривую. Найдите среднее значение, выборочную дисперсию и среднее квадратическое отклонение. При доверительной вероятности γ=0,95 определите доверительный интервал для генеральной средней. Проверьте гипотезу о выбранном законе по критерию Колмогорова. Уровень значимости α=0,05.
Решение
Интервал 51-54 54-57 57-60 60-63 63-66 66-69
Абсолютная частота mi
3 9 18 8 11 1
Относительная частота wi
0,06 0,18 0,36 0,16 0,22 0,02
Эмпирическая функция распределения F*x
0,06 0,24 0,6 0,76 0,98 1,00
Гистограмма относительных частот:
Кумулятивная кривая:
Среднее выборочное:
x=1N=1kximi=150∙52,5∙3+55,5∙9+58,5∙18+61,5∙8+64,5∙11+67,5∙1=59,58,
xi – середины интервалов.
Выборочная дисперсия:
Dв=1N=1kmixi-x2=
=150∙3∙52,5-59,582+9∙55,5-59,582+18∙58,5-59,582+8∙61,5-59,582+11∙64,5-59,582+1∙67,5-59,582=13,5936.
Выборочное среднее квадратическое отклонение:
σв=Dв=13,5936=3,68695.
Полуширина доверительного интервала для математического ожидания:
ε=tγσвN=1,96∙3,6869550=1,02197.
tγ берется из таблицы функции Лапласа из условия Фtγ=0,5γ=0,5∙0,95=0,475.
tγ=1,96, Ф1,96=0,475.
Тогда с вероятностью γ=0,95 генеральное среднее лежит в интервале x=59,58±1,02 или 58,56<x<60,60.
Представим в таблице эмпирические и теоретические накопленные значения частот в предположении, что закон распределения нормальный, pi - эмпирические накопленные частоты, F*x - значения функции нормального распределения.
x
pi
F*x
54 0,06 0,065
57 0,24 0,242
60 0,6 0,545
63 0,76 0,823
66 0,98 0,959
Изобразим точки для эмпирических частот pi на вероятностной сетке для нормального распределения.
Точки достаточно хорошо ложатся на прямую линию (на сетке для нормального распределения), значит, принимается гипотеза о нормальном распределении.
Проверим гипотезу о том, что распределение является нормальным.
Максимальная разность по модулю Z=0,063 при x=63.
Z=0,76-0,823=0,063.
Вычислим значение критерия Колмогорова ∆=n∙Z=50∙0,063=0,447.
По таблице определим критическое значение:
∆γ=∆1-α=∆0,95=1,36.
∆<1,36,
следовательно, гипотеза о нормальном распределении принимается.
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
