Предел и непрерывность функции. Дайте определение предела последовательности. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Предел и непрерывность функции. Дайте определение предела последовательности

Предел и непрерывность функции. Дайте определение предела последовательности .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Предел и непрерывность функции Дайте определение предела последовательности. Дайте определение предела функции при . x →a, x→∞, x →-∞. Сформулируйте определение бесконечно малой функции при x → a. Каковы ее свойства? Свойства: Какая функция называется бесконечно большой и каковы ее основные свойства? Свойства: Как связано понятие предела функции в точке с понятиями ее пределов слева и справа в этой точке? Докажите основные теоремы о пределах.

Нужно полное решение этой работы?

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Лемма. Для того, чтобы число было пределом функции в точке = , необходимо и достаточно, чтобы разность – была бесконечно малой в этой точке.
Доказательство. Обозначим разность – через , т.е. – = . Если – предел функции , то |–| = || < O (,). Но это означает, что является бесконечно малой в точке = . Необходимость доказана. Если – бесконечно малая, то
|| = |–| < O (,). Последняя запись означает, что является пределом функции в точке = . Достаточность доказана.
Теорема 1 . Пусть функции и определены в некоторой -окрестности точки = за исключением, быть может, самой точки = . Если существуют пределы функций и в точке = , то существуют и следующие пределы:
(+) = + ,
() = ,
= , если 0.
Доказательство. Пусть = , = . Тогда согласно лемме
= + , = + .(1)
Учитывая (1), запишем = = +
+ = + , или
= + (2),
где = – бесконечно малая (согласно теоремам 1–3 предыдущего параграфа).
Равенство (2) согласно лемме означает, что
= или =

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу