Пpoaнaлuзupoвaть дuнaмuкy uзмeнeнuя экoнoмuчecкux показателей, xapaкmepuзyющux cocmoянue Poccuŭcкoŭ экoнoмuкu зa гoд.
По заданному варианту экспериментальных данных xi,yi построить корреляционное поле и по визуальной оценке расположения точек на нем сделать предположение о виде зависимости Y от X. Отдельно рассмотреть резко выделяющиеся колебания.
Вычислить оценки числовых характеристик величин X и Y: эмпирические средние x, y, эмпирические дисперсии σx, σy, выборочную ковариацию cov(X,Y) и выборочный коэффициент корреляции r.
Методом наименьших квадратов найти оценки коэффициентов a и b уравнения эмпирической регрессии. Записать уравнение эмпирической регрессии y=a+bx.
Предсказать значение y* для заданного x*: y*=a+bx*. Вычислить y1=a+bx1, погрешность δ1=y1-y1 и относительную погрешность δ1y1.
Построить прямую эмпирической регрессии y=a+bx по точкам x1,y1 и x*,y* на корреляционном поле.
Оценить качество модели: вычислить коэффициент детерминации R2, определить значимость уравнения регрессии по критерию Фишера на уровне значимости α=0,05.
Пepeмeнныe вeличины Hoмepa нa6людeний
X
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Mecяц (2011г.), x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15
Экcпopт, y, млн дoлл. 31,0 38,9 43,1 45,6 44,1 43,6 41,8 44,2 43,3 45,7 47,2 50,2
Решение
Построим корреляционное поле (рис. 8).
Рис. 8. Корреляционное поле
На основании визуального исследования выдвинем гипотезу о линейной зависимости Y от X.
Вычислить оценки числовых характеристик величин X и Y: эмпирические средние x, y, эмпирические дисперсии σx, σy, выборочную ковариацию covX,Y и выборочный коэффициент корреляции r
Числовые характеристики случайных величина найдем по формулам:
x=1ni=1nxi
y=1ni=1nyi
σx2=1ni=1nxi2-x2
σy2=1ni=1nyi2-y2
σx=σx2
σy=σy2
covX,Y=1ni=1nxiyi-x∙y
rB=covX,Yσx∙yi
Составим вспомогательную таблицу для вычисления сумм (таблица 3).
Таблица 3
№ xi
yi
xi2
yi2
xiyi
1 1 31 1 961 31
2 2 38,9 4 1513,21 77,8
3 3 43,1 9 1857,61 129,3
4 4 45,6 16 2079,36 182,4
5 5 44,1 25 1944,81 220,5
6 6 43,6 36 1900,96 261,6
7 7 41,8 49 1747,24 292,6
8 8 44,2 64 1953,64 353,6
9 9 43,3 81 1874,89 389,7
10 10 45,7 100 2088,49 457
11 11 47,2 121 2227,84 519,2
12 12 50,2 144 2520,04 602,4
78 518,7 650 22669,09 3517,1
x=112∙78=6,5
y=112∙518,7=43,225
σx2=112∙650-6,52≈11,92
σy2=112∙22669,09-43,2252≈20,69
σx=11,92≈3,45
σy=20,69≈4,55
covX,Y=112∙3517,1-6,5∙43,225≈12,13
rB=12,133,45∙4,55≈0,772
Методом наименьших квадратов найти оценки коэффициентов a и b уравнения эмпирической регрессии
. Записать уравнение эмпирической регрессии y=a+bx.
Оценки коэффициентов уравнения регрессии найдем по формулам:
b=covX,Yσx2=12,1311,92≈1,02
a=y-b∙x=43,225-1,02∙6,5=36,61
Уравнение регрессии имеет вид:
y=36,61+1,02x
Предсказать значение y* для заданного x*: y*=a+bx*
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
