Потребитель потребляет два товара количество 𝑥1 товара 1 и 𝑥2 товара 2

А. Условие максимизации прибыли – равенство предельной нормы замещения двух благ соотношению их цен:
MRS = MU1/MU2 = p1/p2,
MU1 = dU/dx1 = 2*0,5*x1-0,5 = 1/x0,5,
MU2 = dU/dx2 = 1.
Подставим данные выражения и значения цен в условие оптимума:
(1/х10,5)/1 = 10/20
1/х10,5 = 0,5
х1 = 4.
Подставим это выражение в бюджетное ограничение:
p1x1 + p2x2 = 200
10*4 + 20*х2 = 200, отсюда
х2 = 8.
В данном случае мы имеем дело с квазилинейными предпочтениями. Потребитель оптимизирует набор, потребляя то благо, взвешенная предельная полезность которого выше. Для блага 1 эта величина равна: MU1/р1 = 0,1/х10,5, для блага 2 – MU2/р2 = 1/20, т.е. она постоянна. До тех пор, пока потребление блага 1 меньше 4, его взвешенная полезность будет выше, чем взвешенная полезность блага 2 и потребитель весь доход будет тратить на благо 1, не покупая благо 2 . Однако как только при достаточно большом доходе потребитель сможет покупать 4 единицы блага 1, взвешенная полезность данного блага станет меньше, чем для блага 2 и потребитель полностью переключится на покупку второго блага. Таким образом, максимальное потребление блага 1 будет равно 4 единицам, а спрос на второе благо будет равен остаточному спросу за вычетом расходов на первое благо из общего дохода. Если же доход будет меньше 4*10 = 40 крон, то потребитель весь доход будет тратить только на первое благо.
(б) данное решение не является оптимальным, т.к. выше было показано, что максимальное потребление блага 1 равно 4. Действительно, сравним взвешенные предельные полезности двух благ при данных объемах покупок:
MU1/р1 = 0,1/60,5 ~ 0,04,
MU2/р2 = 1/20 = 0,05.
Таким образом, полезность с 1 рубля, потраченного на покупку второго блага, выше, чем для первого блага и потребитель может увеличить свою полезность, перераспределив бюджет в пользу второго блага