Постройте график фактических уровней динамического ряда - Nt
2. Рассчитайте параметры уравнения линейного тренда
3. Оцените полученные результаты:
с помощью показателей тесноты связи (r и r2 );
значимость модели тренда (F -критерий);
качество модели через корректированную среднюю ошибку аппроксимации , а также через коэффициент автокорреляции отклонений от тренда -
4. Выполните прогноз до 2011 года, рассчитайте ошибки прогноза, доверительный интервал прогноза и оцените его точность.
5. Проанализируйте полученные результаты.
Решение
1. С помощью Excel построим график фактических уровней динамического ряда и представим его на рисунке 1.
Рисунок 1. Средний размер земельного участка крестьянского (фермерского) хозяйства за период с 2001 по 2009 г.
2. Рассчитаем параметры уравнения линейного тренда , используя метод наименьших квадратов (МНК).
Система нормальных уравнений имеет вид:
a·n + b·∑t = ∑ya·∑t + b·∑t2 = ∑y·t
Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу 1.
Таблица 1 – Расчетная таблица
t y
t2 y2 t*y
1 42 1 1764 42
2 44 4 1936 88
3 47 9 2209 141
4 48 16 2304 192
5 50 25 2500 250
6 54 36 2916 324
7 62 49 3844 434
8 67 64 4489 536
9 75 81 5625 675
∑45 489 285 27587 2682
Среднее значение 54,33 31,67 3065,22 29
Для наших данных система уравнений имеет вид:
9a + 45·b = 48945·a + 285·b = 2682
Домножим уравнение (1) системы на (-5), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.
-45a -225 b = -244545*a + 285*b = 2682
Получаем:
60*b = 237
Откуда b = 3.95
Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):
9a + 45*b = 489
9a + 45*3,95 = 489
9a = 311,25
a = 34,58
Уравнение линейного тренда принимает вид:
y = 3,95 t + 34,58.
3.Оценим качество уравнения тренда с помощью показателей тесноты связи.
Для оценки качества параметров регрессии построим расчетную таблицу 2.
Таблица 2 – Расчетная таблица
t
y
y(t) (yi-ycp)2 (yi-y(t))2 (yi-y(t)) : yi
1 42 38,533 152,111 12,018 0,0825
2 44 42,483 106,778 2,3 0,0345
3 47 46,433 53,778 0,321 0,0121
4 48 50,383 40,111 5,68 0,0497
5 50 54,333 18,778 18,778 0,0867
6 54 58,283 0,111 18,347 0,0793
7 62 62,233 58,778 0,0544 0,00376
8 67 66,183 160,444 0,667 0,0122
9 75 70,133 427,111 23,684 0,0649
489 1018 81,85 0,426
Коэффициент детерминации рассчитаем по формуле:
R2=1-(yi-yt)2(yi-y)2
R2=1-81,851018=0,92
Таким образом, в 92% случаев t влияет на изменение y
. Другими словами - точность подбора уравнения тренда - высокая.
Коэффициент корреляции рассчитаем по формуле:
r=R2
r=0,92=0,96
Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:
0,1 < rxy < 0,3: слабая;
0,3 < rxy < 0,5: умеренная;
0,5 < rxy < 0,7: заметная;
0,7 < rxy < 0,9: высокая;
0,9 < rxy < 1: весьма высокая;
В нашем примере связь между признаком y и фактором t весьма высокая и прямая.
Определим значимость уравнения тренда с помощью F-критерия по формуле:
F=R21-R2*n-m-1m
F=0,921-0,92*9-1-11=80,06
Находим из таблицы Fkp(1;7;0.05) = 5,59,
где m - количество факторов в уравнении тренда (m=1).
Поскольку F > Fkp, то коэффициент детерминации (и в целом уравнение тренда) статистически значим.
Оценим качество уравнения тренда с помощью средней относительной ошибки аппроксимации по формуле:
А=yt-yi/yin*100%
Подставим имеющиеся данные в формулу и произведем расчет.
А=0,42559*100%=4,73%
Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение можно использовать в качестве тренда.
Коэффициент автокорреляции рассчитывается по формуле:
rei=eiei-1-ei*ei-1Sei*Sei-1
Если коэффициент автокорреляции rei < 0.5, то есть основания утверждать, что автокорреляция отсутствует.
Для определения степени автокорреляции вычислим коэффициент автокорреляции и проверим его значимость при помощи критерия стандартной ошибки. Стандартная ошибка коэффициента корреляции рассчитывается по формуле:
Sey=1n=19=0,333
Если коэффициент автокорреляции первого порядка r1 находится в интервале:
-2,841*0,333 < r1 < 2,841*0,333,
то можно считать, что данные не показывают наличие автокорреляции первого порядка.
Используя расчетную таблицу, получаем:
r1=ei*ei-1ei2=38,43981,85=0,47
Так как -0,947 < r1 = 0,47 < 0,947, то свойство независимости остатков выполняется
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
