Постройте аддитивную модель временного ряда

1). Построим график ряда динамики.
На графике отчетливо видно, что товарооборот изменяется под воздействием сезонных колебаний. Заметен рост в 4 квартале каждого года (соответственно 4, 8, 12, 16 и 20 кварталы), а затем снижение товарооборота в первом квартале каждого года (соответственно 5, 9, 13 и 17 кварталы).
Построение аддитивной модели начнем с выделения сезонной компоненты временного ряда.
В нашем случае τ=4 и τ=n/τ=24/4=6. Применим формулу (22). Получим расчетную таблицу. Среднее значение по всем 24-ти наблюдениям равно 61,68. Вычитая из средних значений по кварталам 61,68, получим последнюю строку расчетной таблицы, в которой и содержатся значения сезонной компоненты St.
t yt
Скользящая средняя
Центрированная скользящая средняя
Оценка сезонной компоненты
1 70,8
2 67,2 65,5
3 68,3 62,775 64,1375 4,1625
4 55,7 60,05 61,4125 -5,7125
5 59,9 57,225 58,6375 1,2625
6 56,3 57,1 57,1625 -0,8625
7 57 56,425 56,7625 0,2375
8 55,2 58,725 57,575 -2,375
9 57,2 60,875 59,8 -2,6
10 65,5 64,35 62,6125 2,8875
11 65,6 67,9 66,125 -0,525
12 69,1 67,65 67,775 1,325
13 71,4 68,05 67,85 3,55
14 64,5 66,45 67,25 -2,75
15 67,2 63,1 64,775 2,425
16 62,7 60,05 61,575 1,125
17 58 56,225 58,1375 -0,1375
18 52,3 53,45 54,8375 -2,5375
19 51,9 52,375 52,9125 -1,0125
20 51,6 54,7 53,5375 -1,9375
21 53,7 58,675 56,6875 -2,9875
22 61,6 63,25 60,9625 0,6375
23 67,8
24 69,9
Устраним сезонную компоненту из исходных уровней ряда и получимzi= Тi+Еi =уi –Si, в столбце 4 расчетной таблицы, которая дана ниже.
Далее рассчитаем значения Δi=zi – zi-1 представленные в столбце 5 расчетной таблицы . Поскольку первые разности являются примерно одинаковыми (см. столбец 5), считаем, что ряд z имеет линейный тренд. Рассчитаем значения тренда Т. Модель тренда имеет вид T= а + b·t. Расчет параметров уравнения проведем по формуле (23). Необходимые предварительные расчеты приведены в таблице в столбцах 6-8: столбец 7 получается путем возведения в квадрат значений столбца 6, столбец 8 равен произведению столбца 4 на столбец 6.
t yt
Si
yt - Si
Δi
t t2 zT Ti
E = yt - (T + Si) E/ yt
1 70,8 0,11 70,69
1 1 70,69 18,63 52,07 0,74
2 67,2 -0,23 67,43 -3,26 2 4 134,87 22,37 45,06 0,67
3 68,3 1,35 66,95 -0,48 3 9 200,85 26,11 40,84 0,60
4 55,7 -1,22 56,92 -10,03 4 16 227,70 29,86 27,07 0,49
5 59,9 0,11 59,79 2,87 5 25 298,96 33,60 26,19 0,44
6 56,3 -0,23 56,53 -3,26 6 36 339,20 37,35 19,19 0,34
7 57 1,35 55,65 -0,88 7 49 389,56 41,09 14,56 0,26
8 55,2 -1,22 56,42 0,77 8 64 451,39 44,83 11,59 0,21
9 57,2 0,11 57,09 0,67 9 81 513,82 48,58 8,51 0,15
10 65,5 -0,23 65,73 8,64 10 100 657,34 52,32 13,41 0,20
11 65,6 1,35 64,25 -1,48 11 121 706,76 56,07 8,18 0,12
12 69,1 -1,22 70,32 6,07 12 144 843,89 59,81 10,51 0,15
13 71,4 0,11 71,29 0,97 13 169 926,79 63,56 7,74 0,11
14 64,5 -0,23 64,73 -6,56 14 196 906,27 67,30 -2,57 -0,04
15 67,2 1,35 65,85 1,12 15 225 987,77 71,04 -5,19 -0,08
16 62,7 -1,22 63,92 -1,93 16 256 1022,78 74,79 -10,86 -0,17
17 58 0,11 57,89 -6,03 17 289 984,15 78,53 -20,64 -0,36
18 52,3 -0,23 52,53 -5,36 18 324 945,61 82,28 -29,74 -0,57
19 51,9 1,35 50,55 -1,98 19 361 960,47 86,02 -35,47 -0,68
20 51,6 -1,22 52,82 2,27 20 400 1056,48 89,76 -36,94 -0,72
21 53,7 0,11 53,59 0,77 21 441 1125,42 93,51 -39,92 -0,74
22 61,6 -0,23 61,83 8,24 22 484 1360,34 97,25 -35,42 -0,57
23 67,8 1,35 66,45 4,62 23 529 1528,38 101,00 -34,55 -0,51
24 69,9 -1,22 71,12 4,67 24 576 1706,97 104,74 -33,62 -0,48
Сумма 1480,40 0,43 300,00 4900,00 18346,45 1480,40 0,00 -0,45
Параметры уравнения линейного тренда:
b = 18346,45/4900 = 3,744.
a = 61,68 – 3,744 · 12,5 = 14,881
Таким образом, уравнение тренда имеет вид:
Т= 14,881 + 3,744 · t.
Подставляя в уравнение тренда последовательно соответствующие значения t, получим значения тренда для каждого уровня временного ряда (столбец 9 расчетной таблицы), например, для t = 14,5 получим
Т(14,5)= 14,881 + 3,744 · 14,5 =69,17 .
После выделения тренда остаток Е получается как разность между z и T(разность значений в столбцах 4 и 9) и представлен в столбце 10 расчетной таблицы.
Заметим в целях самопроверки, что значения в столбце 2 для уi должны получаться как сумма значений в столбцах 3, 9 и 10 согласно принятой аддитивной модели.
2).Полученное уравнение временного ряда может быть использовано для краткосрочного прогнозирования