Имеются данные 14 стран об индексе розничных цен на продукты питания (х) и об индексе промышленного производства (у)
индекс розничных цен на продукты питания (х) индекс промышленного производства (у)
1 103 73
2 108 82
3 109 88
4 116 87
5 121 88
6 121 88
7 113 99
8 118 102
9 122 103
10 121 101
11 132 102
12 127 105
13 132 108
14 135 115
Задание:
1. Для характеристики зависимости у от х рассчитать параметры следующих функций:
А) линейной
Б) степенной
В) равносторонней гиперболы
2. Для каждой модели рассчитать показатели: тесноты связи и среднюю ошибку аппроксимации.
3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.
4. Выполнить прогноз значения индекса промышленного производства у при прогнозном значении индекса розничных цен на продукты питания х=141.
Решение
Для характеристики зависимости у от х рассчитать параметры следующих функций:
А) линейной:
Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу
1 103 73 7519 10609 5329 78,57696 -5,57696 7,639671
2 108 82 8856 11664 6724 83,68125 -1,68125 2,050307
3 109 88 9592 11881 7744 84,70211 3,29789 3,747602
4 116 87 10092 13456 7569 91,84812 -4,84812 5,572549
5 121 88 10648 14641 7744 96,95241 -8,95241 10,17319
6 121 88 10648 14641 7744 96,95241 -8,95241 10,17319
7 113 99 11187 12769 9801 88,78554 10,21446 10,31763
8 118 102 12036 13924 10404 93,88983 8,110165 7,951143
9 122 103 12566 14884 10609 97,97327 5,026732 4,880323
10 121 101 12221 14641 10201 96,95241 4,047591 4,007515
11 132 102 13464 17424 10404 108,1819 -6,18185 6,060638
12 127 105 13335 16129 11025 103,0776 1,922441 1,830896
13 132 108 14256 17424 11664 108,1819 -0,18185 0,16838
14 135 115 15525 18225 13225 111,2444 3,755574 3,265717
Итого 1678 1341 161945 202312 130187 1341 0 77,83876
Среднее значение 119,857 95,786 11567,5 14450,86 9299,071 95,78571 – –
9,226 11,143 – – – – – –
85,122 124,168 – – – – – –
σx2=x2-x2=14450,86-119,8572=85,122
σy2=y2-y2=9299,071-95,7862=124,168
b=y∙x-y∙xx2-x2=111567,5-119,857∙95,78614450,86-119,8572=1,021
a=y-b∙x=95,786-1,021∙119,857=-26,571
Получено уравнение регрессии: y=-26,571+1,021∙x
С увеличением индекса розничных цен на продукты питания на 1 ед. индексе промышленного производства возрастает в среднем на 1,021.
С помощью уравнения y==-26,571+1,021∙x найдем значения
y1= =-26,571+1,021∙103 = 78,576; y8= -26,571+1,021∙118= 93,889
y2= -26,571+1,021∙108= 83,681; y9= -26,571+1,021∙122 = 97,973
y3=-26,571+1,021∙109=84,702; y10= -26,571+1,021∙121=96,952
y4= -26,571+1,021∙116= 91,848; y11= -26,571+1,021∙132 = 108,181
y5=-26,571+1,021∙121 =96,952; y12= -26,571+1,021∙127 = 103,077
y6= -26,571+1,021∙121=96,952; y13= -26,571+1,021∙132= 108,181
y7= -26,571+1,021∙113 =88,785; y14= -26,571+1,021∙135= 111,244
Найдем значение Ai
Ai=yi-yiyi∙100%
Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:
A=1nAi=114∙77,8388%=5,56%
В среднем, расчетные значения отклоняются от фактических на 5,56% поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.
Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции:
rxy=b∙σxσy=1,021∙9,22611,143=0,845;
rxy2=0,714
Это означает, что 71,4% вариации индекса промышленного производства () объясняется вариацией фактора – индекс розничных цен на продукты питания.
Оценку значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью -критерия Фишера. Фактическое значение -критерия:
Fфакт=rxy21-rxy2∙n-2=0,7141-0,714∙14-2=30,02
Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы и составляет
. Так как Fфакт=30,02>Fтабл.=4,75 , то уравнение регрессии признается статистически значимым.
Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью -статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из показателей.
Табличное значение -критерия для числа степеней свободы и составит .
Определим случайные ошибки , , :
ma=Sост∙x2n∙σx
mb=Sостσx∙n
mrxy=1-rxy2n-2
Где Sост=Sост2=y-y2n-2=496,4112=6,43
ma=6,43∙20231214∙9,23=22,397
mb=6,439,23∙14=0,186
mrxy=1-0,71414-2=0,154
Тогда
ta=ama=-26,5722,397=-1,19
tb=bmb=1,020,186=5,48
trxy=rxymrxy=0,8450,154=5,48
Фактические значения -статистики превосходят табличное значение:
tb=5,48>tтабл=2,18; trxy=5,48>tтабл=2,18
поэтому параметр и коэффициент корреляции не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.
Фактическое значение -статистики не превосходит табличное значение:ta=1,19<tтабл=2,18; поэтому параметр случайно отличается от нуля, а статистически не значим.
Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение индекса розничных цен на продукты питания составит: xp=141, тогда прогнозное значение индекса промышленного производства составит:
yp=-26,57+1,021∙141=117,37
Ошибка прогноза составит:
myp=Sост∙1+1n+xp-x2x-x2=6,43∙1+114+141-119,8621191,71=7,74
Предельная ошибка прогноза, которая в случаев не будет превышена, составит:
∆yp=tтабл∙myp=2,18∙7,74=16,85
Доверительный интервал прогноза:
γyp=yp±∆yp=117,37 ±16,85
γypmin=yp-∆yp=117,37-16,85=100,52
γypmax=yp+∆yp=117,37+16,85=134,22
Выполненный прогноз индекса промышленного производства является надежным () и находится в пределах от 100,52 до 134,22.
Б) степенной
Построение степенной модели регрессии.
Уравнение степенной модели имеет вид:
y=a∙xb
Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения: lgy=lga+b∙lgx.
Обозначим: Y=lgy, X=lgx, A=lga.
Тогда уравнение примет вид: Y=A+b∙X
X Y Y∙X X2
Y2
yx
1 103 73 2,013 1,863 3,751 4,052 3,472 78,30 -5,30 7,26
2 108 82 2,033 1,914 3,892 4,135 3,663 83,32 -1,32 1,60
3 109 88 2,037 1,944 3,962 4,151 3,781 84,33 3,67 4,17
4 116 87 2,064 1,940 4,004 4,262 3,762 91,48 -4,48 5,15
5 121 88 2,083 1,944 4,050 4,338 3,781 96,68 -8,68 9,86
6 121 88 2,083 1,944 4,050 4,338 3,781 96,68 -8,68 9,86
7 113 99 2,053 1,996 4,097 4,215 3,983 88,40 10,60 10,71
8 118 102 2,072 2,009 4,162 4,293 4,034 93,55 8,45 8,28
9 122 103 2,086 2,013 4,200 4,353 4,052 97,73 5,27 5,12
10 121 101 2,083 2,004 4,175 4,338 4,017 96,68 4,32 4,28
11 132 102 2,121 2,009 4,259 4,497 4,034 108,34 -6,34 6,22
12 127 105 2,104 2,021 4,252 4,426 4,085 103,00 2,00 1,90
13 132 108 2,121 2,033 4,312 4,497 4,135 108,34 -0,34 0,32
14 135 115 2,130 2,061 4,390 4,538 4,246 111,58 3,42 2,98
Итого 1678 1341 29,083 27,695 57,554 60,432 54,826 1338,42 2,58 77,72
Ср
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
