Построить модели линейной множественной регрессии в стандартизованной и естественной формах
y=b0+b1x1+b2x2+ε;
ty=β1tx1+β2tx2,
где bi — коэффициенты «чистой регрессии»;
y, xi — переменные исходной модели,
βi – стандартизованные коэффициенты регрессии,
ty, txi – стандартизованные переменные,
ty=y-yσy, txi=xi-xiσxi .
Оценить целесообразность включения каждого из факторов в модель:
Найти информацию в справочнике «Регионы России. Социально-экономические показатели 2019» (сайт https://rosstat.gov.ru/, раздел Публикации) о показателях, соответствующих индивидуальному варианту задания (см. п. 4). Сформировать таблицу исходных данных.
Вычислить значения выборочных средних и среднеквадратических отклонений для изучаемых переменных.
Построить матрицу коэффициентов парной корреляции, сформулировать вывод о наличии/отсутствии интеркоррелированности факторов, включенных в модель.
Построить линейное уравнение множественной регрессии в стандартизованной форме, на основании сравнения значений коэффициентов β1 и β2 сделать вывод о силе влияния факторов на результат.
Построить линейное уравнение регрессии в естественной форме. На основе расчета значений множественного R, R2, общего F-критерия, t-критерия и доверительных интервалов для параметров регрессии сформулировать выводы о качестве построенной модели. Дать интерпретацию параметров модели.
Рассчитать частные коэффициенты эластичности и сравнить их с β1 и β2, пояснить различия между ними.
Рассчитать линейные коэффициенты частной корреляции, сравнить их с линейными коэффициентами парной корреляции, пояснить различия между ними. На основании сравнения частных коэффициентов ранжировать факторы по тесноте их связи с результатом.
Оценить статистическую значимость присутствия каждого из факторов в уравнении на основе частного F-критерия.
2. На тех же данных построить модель вида
y=a0x1a1x2a2ε,
используя метод линеаризации
lny=lna0+a1lnx1+a2lnx2+lnε.
Оценить качество модели в логарифмах.
Дать интерпретацию коэффициентам регрессии.
Проверить гомоскедастичность остатков для модели y=b0+b1x1+b2x2+ε (графический метод, тест Голдфельда-Квандта, тест ранговой корреляции Спирмена), сравнить результаты, полученные с использованием разных критериев. Сделать выводы.
Решение
1. В соответствии с вариантом рассмотрим следующие статистические данные за 2019 год (табл.1):
Таблица 1 – Исходные данные
Субъект РФ Средние цены на вторичном рынке жилья (на конец года; рублей за м2 общей площади) Среднегодовая численность населения (тыс. человек) Объем жилищных кредитов, предоставленных кредитными организациями физическим лицам в рублях (млн. рублей)
№ пп
y x1 x2
1 Белгородская область 44203 1548,3 19733
2 Брянская область 34382 1196,3 16821
3 Владимирская область 43064 1362,1 21384
4 Воронежская область 45886 2326 36490
5 Ивановская область 39682 1000,7 12221
6 Калужская область 52759 1006 22749
7 Костромская область 39139 635,3 9168
8 Курская область 41520 1105,5 15838
9 Липецкая область 42827 1141,7 15812
10 Московская область 75538 7645,2 242590
11 Орловская область 38427 736,5 12320
12 Рязанская область 44405 1111,5 20386
13 Смоленская область 33936 938,6 14315
14 Тамбовская область 35394 1011,4 14053
15 Тверская область 47861 1265 23912
16 Тульская область 53751 1472,5 25645
17 Ярославская область 49899 1256,5 18200
18 г. Москва 177991 12646,7 393629
19 Республика Карелия 47830 616,1 11264
20 Республика Коми 54995 825,4 19411
21 Архангельская область 62722 1140,3 26500
22 Вологодская область 38966 1164,1 19696
23 Калининградская область 53440 1007,3 18366
24 Ленинградская область 51967 1861,8 45525
25 Мурманская область 49953 744,7 15492
26 Новгородская область 39226 598,4 9337
27 Псковская область 37688 627,9 8439
28 г. Санкт-Петербург 105881 5391 195015
29 Республика Адыгея 44293 458,9 4103
30 Республика Калмыкия 36741 271,9 5365
31 Республика Крым 60419 1912,2 8852
32 Краснодарский край 58245 5661,8 77706
33 Астраханская область 38963 1009,9 13682
34 Волгоградская область 41586 2499,3 34769
35 Ростовская область 54252 4200,1 59165
36 г. Севастополь 71769 446,2 3011
37 Республика Дагестан 47898 3098,5 11715
38 Республика Ингушетия 32746 502,2 397
39 Кабардино-Балкарская Республика 30440 867,3 6120
40 Карачаево-Черкесская Республика 43046 465,6 3292
41 Республика Северная Осетия – Алания 42080 698,1 5984
42 Чеченская Республика 45037 1467,8 2568
43 Ставропольский край 41511 2799,4 32461
2. Вычислим значения выборочных средних (функция СРЗНАЧ) и среднеквадратических отклонений (функция СТАНДОТКЛОН) для изучаемых переменных (табл.2):
Таблица 2 ‒ Выборочные характеристики
№ пп
y x1 x2
Среднее 50519,95 1854,47 36593,05
Среднеквадратическое отклонение 23932,84 2270,65 71919,34
3. Построим матрицу коэффициентов парной корреляции (табл. 3), используя надстройку «Корреляция»:
Таблица 3 ‒ Матрица коэффициентов парной корреляции
y x1 x2
y 1,00
x1 0,85 1,00
x2 0,90 0,95 1,00
Оба фактора имеют тесную связь с зависимой переменной (коэффициенты корреляции положительны, по модулю превышают 0,8). Кроме того, между факторами х1 и х2 присутствует тесная связь ‒ интеркоррелированность (коэффициент корреляции равен 0,95). Следовательно, совместное включение факторов в модель нежелательно.
4. Построим линейное уравнение множественной регрессии в стандартизованной форме:
ty=β1tx1+β2tx2,
где
ty=y-yσy, txi=xi-xiσxi .
Выполним преобразование переменных и оценим параметры модели с помощью надстройки «Регрессия» (табл. 4).
Таблица 4 ‒ Оценка параметров уравнения множественной регрессии в стандартизованной форме
ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R 0,90
R-квадрат 0,81
Нормированный R-квадрат 0,78
Стандартная ошибка 0,44
Наблюдения 43,00
Дисперсионный анализ
df
SS MS F Значимость F
Регрессия 2,00 34,04 17,02 87,69 0,00
Остаток 41,00 7,96 0,19
Итого 43,00 42,00
Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95%
Y-пересечение 0,00 #Н/Д #Н/Д #Н/Д #Н/Д #Н/Д
tx1 -0,07 0,22 -0,33 0,74 -0,51 0,37
tx2 0,97 0,22 4,47 0,00 0,53 1,41
Линейное уравнение множественной регрессии в стандартизованной форме имеет вид:
ty=-0,07tx1+0,97tx2
Увеличение среднегодовой численности населения на одно среднеквадратическое отклонение приводит в среднем к снижению средних цен на вторичном рынке жилья на 0,07 среднеквадратического отклонения.
Увеличение объема жилищных кредитов на одно среднеквадратическое отклонение приводит в среднем к увеличению средних цен на вторичном рынке жилья на 0,97 среднеквадратического отклонения.
Таким образом, влияние второго фактора на результат сильнее, чем первого.
5
. Построим линейное уравнение множественной регрессии в естественной форме (табл. 5):
Таблица 5 ‒ Оценка параметров уравнения множественной регрессии в естественной форме
ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R 0,90
R-квадрат 0,81
Нормированный R-квадрат 0,80
Стандартная ошибка 10675,30
Наблюдения 43,00
Дисперсионный анализ
df
SS MS F Значимость F
Регрессия 2,00 19498306720,68 9749153360,34 85,55 0,00
Остаток 40,00 4558482489,23 113962062,23
Итого 42,00 24056789209,91
Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95%
Y-пересечение 40132,64 2533,57 15,84 0,00 35012,10 45253,17
x1 -0,76 2,31 -0,33 0,75 -5,43 3,92
x2 0,32 0,07 4,41 0,00 0,17 0,47
Линейное уравнение множественной регрессии в естественной форме имеет вид:
y=40132,64-0,76x1+-0,32x2
Увеличение среднегодовой численности населения на 1 тыс. человек приводит в среднем к снижению средних цен на вторичном рынке жилья на 0,76 руб./м2.
Увеличение объема жилищных кредитов на 1 млн. руб. приводит в среднем к увеличению средних цен на вторичном рынке жилья на 0,32 руб./м2.
Коэффициент множественной корреляции R в модели равен 0,90, т.е. между группой факторов и результативным признаком присутствует тесная связь.
Коэффициент детерминации R2 равен 0,81. Модель объясняет 81% вариации цены жилья, следовательно, качество модели достаточно высокое.
Величина «Значимость F», соответствующая значимости модели в целом по критерию Фишера, равна 0,00, меньше уровня значимости 0,05, следовательно, модель значима по критерию Фишера на уровне значимости 0,05.
Величина «P-Значение», соответствующая значимости коэффициентов модели по критерию Стьюдента, меньше 0,05 для свободного члена, следовательно, этот коэффициент значим по критерию Стьюдента на уровне значимости 0,05. С вероятностью 95% свободный член модели регрессии для генеральной совокупности находится в границах (35012,10; 45253,17).
Величина «P-Значение» меньше 0,05 для коэффициента регрессии при х2, следовательно, этот коэффициент значим по критерию Стьюдента на уровне значимости 0,05. С вероятностью 95% коэффициент регрессии при х2 для генеральной совокупности находится в границах (0,17; 0,47).
Величина «P-Значение» больше 0,05 для коэффициента регрессии при х1, следовательно, этот коэффициент не значим по критерию Стьюдента на уровне значимости 0,05. С вероятностью 95% коэффициент регрессии при х1 для генеральной совокупности находится в границах (-5,43; 3,92). Доверительный интервал содержит 0, что также свидетельствует о незначимости коэффициента.
6. Рассчитаем частные коэффициенты эластичности:
Эxi=bxiхiу
Эx1=-0,761854,4750519,95=-0,03
Эx2=0,3236593,0550519,95=0,23
Увеличение среднегодовой численности населения на 1% приводит в среднем к снижению средних цен на вторичном рынке жилья на 0,03%.
Увеличение объема жилищных кредитов на 1% приводит в среднем к увеличению средних цен на вторичном рынке жилья на 0,23%.
Таким образом, влияние второго фактора на результат сильнее, чем первого.
Частные коэффициенты эластичности по величине отличаются от бэта-коэффициентов (т.к. имеют другую размерность), но имеют те же знаки и подтверждают сделанный ранее вывод относительно силы влияния факторов.
7
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
