Построить модель парной линейной регрессии y = a + bx +e

Составим расчетную таблицу 1.
Таблица 1 – Расчетная таблица
i xi yi x2i y2i xiyi
1 19,6 43 384,16 1849 842,8
2 34,1 76 1162,81 5776 2591,6
3 39,2 91 1536,64 8281 3567,2
4 34,2 66 1169,64 4356 2257,2
5 26,9 53 723,61 2809 1425,7
6 43,2 87 1866,24 7569 3758,4
7 34,1 76 1162,81 5776 2591,6
8 39,2 91 1536,64 8281 3567,2
9 24,1 49 580,81 2401 1180,9
10 27,4 54 750,76 2916 1479,6
11 50,9 102 2590,81 10404 5191,8
Σ 372,9 788 13464,93 60418 28454
Средние 33,900 71,636 1224,085 5492,545 2586,727
По данным таблицы 1 определяем следующие величины:
– выборочные средние:
– вспомогательные величины
– выборочные дисперсии и среднеквадратические отклонения:
Уравнение линейной регрессии ищем в виде .
Определим коэффициенты линейной зависимости у от х. Согласно методу наименьших квадратов они находятся по формулам
Поэтому коэффициенты регрессии будут равны
Тогда уравнение связи будет иметь вид .
2) Покажем линейную линию регрессии на графике исходных данных (рис.1).
Рис.1 – График линейной регрессии
3) Оценим тесноту связи с помощью коэффициента корреляции:
.
Данное значение коэффициента корреляции позволяет судить о прямой весьма высокой линейной зависимости между переменными х и у.
Проверим значимость коэффициента корреляции . Для этого рассмотрим нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции между переменными х и у. Вычисляем наблюдаемое значение t-статистики:
Для уровня значимости α=0,05 при степенях свободы ν=n–2=11–2=9 по таблице распределения Стьюдента находим критическое значение статистики
.
Так как , то нулевая гипотеза о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции отвергается.
Таким образом, коэффициент корреляции статистически значим.
Вычислим коэффициент детерминации:
.
Коэффициент детерминации R2 показывает, что доля разброса зависимой переменной, объясняемая регрессией у на х, равна 92,7%, что говорит о том, что практически переменная у на 92,7% зависит от переменной х, остальные 7,3% вариации результативного признака обусловлены неучтенными факторами.
Силу связи фактора с результатом оценим с помощью средней ошибки аппроксимации и коэффициента эластичности.
Составим расчетную таблицу 2.
Таблица 2 – Расчетная таблица
i xi yi ei e2i |ei|/yi
1 19,6 43 41,412 1,588 2,522 0,037
2 34,1 76 72,059 3,941 15,531 0,052
3 39,2 91 82,838 8,162 66,611 0,090
4 34,2 66 72,270 -6,270 39,318 0,095
5 26,9 53 56,841 -3,841 14,755 0,072
6 43,2 87 91,293 -4,293 18,428 0,049
7 34,1 76 72,059 3,941 15,531 0,052
8 39,2 91 82,838 8,162 66,611 0,090
9 24,1 49 50,923 -1,923 3,698 0,039
10 27,4 54 57,898 -3,898 15,194 0,072
11 50,9 102 107,567 -5,567 30,997 0,055
Σ 372,9 788 788   289,197 0,703
Средние 33,900 71,636 71,636     0,064
Найдем среднюю ошибку аппроксимации по формуле
,
где – отклонения между выборочными значениями результативного признака и соответствующими значениями, полученными по уравнению регрессии; n=11 – количество наблюдений.
Используя данные таблицы 2, находим среднюю ошибку аппроксимации:
.
Допустимый предел значений средней ошибки аппроксимации не более 8–10%:
<8%, ошибка аппроксимации небольшая, и регрессионная модель хорошо описывает изучаемую закономерность;
8%≤≤10% – ошибка аппроксимации высокая, но регрессионная модель хорошо описывает изучаемую закономерность;
>10%, ошибка аппроксимации высокая, регрессионная модель плохо описывает изучаемую закономерность.
В нашем случае, ошибка аппроксимации меньше 8%, т.е