Построить и проинтерпретировать модель взаимосвязи между указанными факторами, проверить на значимость, осуществить точечный и интервальный прогноз, сделать выводы.
1. Исходные данные нанести на координатную плоскость. Сделать предварительное заключение о наличии взаимосвязи между факторами X и Y, о ее характере (положительная или отрицательная) и форме (линейная или нелинейная).
2. Рассчитать значение парного коэффициента корреляции xy r . Используя t-критерий Стьюдента проверить значимость полученного коэффициента корреляции и сделать вывод о тесноте связи между факторами X и Y.
3. Полагая, что взаимосвязь между факторами X и Y может быть описана линейной функцией, записать соответствующее уравнение этой зависимости. Вычислить оценки неизвестных параметров уравнения парной регрессии по методу наименьших квадратов на основе решения системы нормальных уравнений. Проинтерпретировать полученные результаты в терминах решаемой задачи.
4. Проверить значимость всех параметров модели по t-критерию Стьюдента. Для значимых коэффициентов построить доверительные интервалы. Сформулировать выводы.
5. Проверить значимость модели (уравнения регрессии) в целом с помощью F-критерия Фишера. Сформулировать вывод.
6. Построить таблицу дисперсионного анализа.
7. Выбрать прогнозную точку x P в стороне от основного массива данных. Используя уравнение регрессии выполнить точечный прогноз величины Y в точке x P .
8. Рассчитать доверительные интервалы для уравнения регрессии и для результативного признака y P при доверительной вероятности a = 0.95.
9. Изобразить в одной системе координат исходные данные, линию регрессии, точечный прогноз, 95% доверительный интервал.
10. Сделать общие выводы по проделанной работе.
Стоимость основных производственных фондов, тыс. руб., 185 150 235 250 310 280 425 395 450 555
Среднесуточная производительность, тонн, 74 71 78 80 82 84 90 100 98 103
Решение
Исходные данные нанести на координатную плоскость. Сделать предварительное заключение о наличии взаимосвязи между факторами X и Y, о ее характере (положительная или отрицательная) и форме (линейная или нелинейная):
Рис. 1 Поле корреляции
На основании поля корреляции выдвинем гипотезу о том, что связь между всеми возможными значениями х и у, то есть для генеральной совокупности может быть линейна: y=+x. Наличие случайных отклонений, вызванных воздействием на переменную у множества других, неучтенных в уравнении факторов и ошибок измерения, приведет к тому, что связь наблюдаемых величин xi и yi приобретет вид yi=+xi+ i. Здесь i.- случайные ошибки (отклонения, возмущения).
Рассчитать значение парного коэффициента корреляции xy r . Используя t-критерий Стьюдента проверить значимость полученного коэффициента корреляции и сделать вывод о тесноте связи между факторами X и Y:
Далее нужно рассчитать показатель тесноты связи. Таким показателем является линейный коэффициент корреляции ryx, который рассчитывается по формуле: . Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1. Этот коэффициент дает объективную оценку лишь при линейной зависимости.
Таблица 1
Вспомогательные расчеты
х у xy x2 y2
1 185 74 13690 34225 5476
2 150 71 10650 22500 5041
3 235 78 18330 55225 6084
4 250 80 20000 62500 6400
5 310 82 25420 96100 6724
6 280 84 23520 78400 7056
7 425 90 38250 180625 8100
8 395 100 39500 156025 10000
9 450 98 44100 202500 9604
10 555 103 57165 308025 10609
Сумма
3235 860 290625 1196125 75094
Среднее значение 323,5 86 29062,5 119612,5 7509,4
Линейный коэффициент корреляции характеризует тесноту линейной связи между изучаемыми признаками. Его можно определить по следующей формуле:
где ;
Вычислим :
В нашем примере:
Значения линейного коэффициента корреляции принадлежит промежутку [-1;1]. Связь между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:
менее 0,1 отсутствует линейная связь0,1 < rxy < 0,3: слабая; 0,3 < rxy < 0,5: умеренная; 0,5 < rxy < 0,7: заметная; 0,7 < rxy < 0,9: высокая; 0,9 < rxy < 1: весьма высокая;
Для нашей задачи rух = 0,953, что подтверждает вывод, сделанный ранее, что связь между признаками прямая, а также указывает на высокую взаимосвязь между стоимостью основных производственных фондов и среднесуточной производительностью. Положительная величина свидетельствует о прямой связи между изучаемыми признаками.
Табличное значение -критерия для числа степеней свободы и составит .
Определим случайную ошибку :
.
Тогда
.
Фактические значения -статистики превосходят табличное значение: поэтому коэффициент корреляции не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.
Полагая, что взаимосвязь между факторами X и Y может быть описана линейной функцией, записать соответствующее уравнение этой зависимости
. Вычислить оценки неизвестных параметров уравнения парной регрессии по методу наименьших квадратов на основе решения системы нормальных уравнений. Проинтерпретировать полученные результаты в терминах решаемой задачи:
Для оценки параметров линейного регрессионного уравнения рассчитаем сначала
;; ; ;.
Для определения параметров уравнения и составим систему нормальных уравнений. Исходное уравнение последовательно умножим на коэффициенты при неизвестных и , и затем каждое уравнение просуммируем:
где – число единиц совокупности.
Подставим полученные данные в систему уравнений:
Решим систему уравнений по правилу Крамера:
Δ0 =
Δ1 =
Δ2 =
, .
В целом эмпирическое уравнение парной линейной регрессии будет таким:
Параметр b= 0,082 - показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с повышением или понижением величины фактора на единицу его измерения. В данном примере с увеличением стоимости основных производственных фондов на 1 тыс. руб. среднесуточная производительность увеличивается в среднем на 0,083 тонн.
Параметр а=59,15 формально показывает прогнозируемый уровень у, но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными значениями. Но если х=0 находится далеко от выборочных значений х, то буквальная интерпретация может привести к неверным результатам, и даже если линия регрессии довольно точно описывает значения наблюдаемой выборки, нет гарантий, что также будет при экстраполяции влево или вправо.
Связь между у и х определяет знак коэффициента регрессии b (если >0 – прямая связь, иначе - обратная). В нашем примере связь прямая, т.е. с увеличением стоимости основных производственных фондов среднесуточная производительность увеличивается.
Проверить значимость всех параметров модели по t-критерию Стьюдента. Для значимых коэффициентов построить доверительные интервалы. Сформулировать выводы:
Оценка дисперсии ошибки модели
,
где yi – это фактические значения,
yi(ti) – теоретические или расчетные значения,
m – число параметров (независимых переменных).
Определим стандартные ошибки коэффициентов регрессии.
Тогда
;
В рассматриваемом примере
│tфакт.│= 18,37> tкрит., где tкрит.=2,31. Значит, коэффициент регрессии существенно отличен от нуля, и зависимость является достоверной.
│tфакт.│= 8,91> tкрит., где tкрит.=2,31. Значит, коэффициент регрессии существенно отличен от нуля, и зависимость является достоверной.
Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии и Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:
;
.
Доверительные интервалы
Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью параметры и , находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
