Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

Схема 1
Для построения эпюр изгибающих моментов и поперечных сил составим рабочую схему балки.
Построение эпюр начнем со свободного (незакрепленного) конца балки.
Рассмотрим участок AB (0≤x1≤a=4 м). На этом участке действует распределенная нагрузка q2, изгибающая балку вверх. По правилу знаков поперечная сила Qy будет положительной, а момент Mz – отрицательным.
Для участка ABQy=q2⋅x1;Mz=-q2⋅x1⋅x12
В точке x1=0
Qy=q2⋅x1=q2⋅0=0;
Mz=-q2⋅x1⋅x12=0;
Далее эпюра Qy имеет линейную зависимость от x1, Mz – квадратичную.
В точке x1=a=4 м
Qy=q2⋅a=20⋅4=80 кН;
Mz=-q2⋅a⋅a2=-20⋅4⋅42=-160 кН⋅м;
Рассмотрим участок BC (0≤x2≤b=1 м). На этом участке нет действующих внешних сил, поэтому значение продольных сил не изменится.
Для участка BC
Qy=q2⋅a;Mz=-q2⋅a⋅a2+x2
В точке x2=0
Qy=q2⋅a=20⋅4=80 кН;
Mz=-q2⋅a⋅a2=-20⋅4⋅42=-160 кН⋅м;
Далее линия эпюры Qy параллельна оси x, линия эпюры Mz линейно зависит от x2.
В точке x2=b=1 м
Qy=q2⋅a=20⋅4=80 кН;
Mz=-q2⋅a⋅a2+b=-20⋅4⋅42+1=-240 кН⋅м;
Рассмотрим участок CD (0≤x3≤a=4 м). На этом участке действует распределенная нагрузка q1, изгибающая балку вниз. По правилу знаков поперечная сила Qy будет отрицательной, а момент Mz – положительным.
Для участка CD
Qy=q2⋅a-q1⋅x3;Mz=-q2⋅a⋅a2+b+x3+q1⋅x3⋅x32
В точке x2=0
Qy=q2⋅a-q1⋅0=20⋅4=80 кН;
Mz=-q2⋅a⋅a2+b+0+q1⋅0⋅02=-20⋅4⋅42+1+10⋅0⋅02=-240 кН⋅м;
Далее линия эпюры Qy линейно зависит от x3, линия эпюры Mz квадратично зависит от x3.
В точке x3=a=4 м
Qy=q2⋅a-q1⋅a=20⋅4-10⋅4=40 кН;
Mz=-q2⋅a⋅a2+b+a+q1⋅a⋅a2=-20⋅4⋅42+1+4+10⋅4⋅42=-480 кН⋅м
Согласно полученным данным строим эпюры Qy и Mz.
Согласно построенным эпюрам, наибольшая нагрузка по изгибающим моментам находится в точке D: Mz max=-480 кН⋅м .
По условию прочности
σmax=|Mz max|Wz≤σ=160 МПа,
где Wz – момент сопротивления сечения.
Тогда
Wz≥Mz maxσ=480⋅103160⋅106=3⋅10-3 м3=3000 см3
Подберем двутавровое сечение. Согласно ГОСТ 8239-89 максимальное значение момента сопротивления имеет двутавр № 60 (Wz=2560 см3), что меньше расчетного. Подбор двутавра при данных нагрузках невозможен, так как в сортаменте ГОСТ 8239-89 не существует профиля с большей величиной момента сопротивления.
Определим размеры прямоугольного сечения.
Момент сопротивления сечения:
Wz=bh36
Так как hb=2, то h=2b,
⇒ Wz=b⋅2b36=4b43
⇒b=43Wz4
По условию прочности
b≥43Wz4=43⋅30004=6,89 см;h=2b=2⋅6,89=13,78 см
Определим размеры круглого сечения