Показать что векторы a b c образуют базис

Чтобы показать, что векторы a,b,c образуют базис, нужно чтобы определитель из их координат был отличен от нуля. Составим и вычислим данный определитель по правилу треугольников, получим:
∆=5-3245-1123=5*5*3+-3*-1*1+2*4*2-1*5*2-2*-1*5-3*4*-3=75+3+16-10+10+36=130
Так как данный определитель не равен нулю, векторы a,b,c образуют базис.
Вектор d в этом базисе будет иметь следующие координаты:
d=αa+βb+γc
Перепишем в координатной форме, получим:
7;23;4=α5;4;1+β-3;5;2+γ(2;-1;3)
Получаем следующую систему линейных уравнений:
5α-3β+2γ=74α+5β-γ=23α+2β+3γ=4
Решим данную систему методом Крамера, определитель исходной матрицы мы уже нашли ранее, он равен 130