Подпространство является линейной оболочкой векторов:
a18;6;6;5,a29;2;2;7,a32;8;6;6,a45;9;2;2,a57;8;9;6
а) Найти уравнение определяющее подпространство.
б) Определить базис пространства и разложение остальных векторов по базису.
Решение
Любой вектор x заданного подпространства можно представить в виде линейной комбинации заданных векторов, т.е.
x=C1a1+C2a2+C3a3+C4a4+C5a5
8C1+9C2+2C3+5C4+7C5=x16C1+2C2+8C3+9C4+8C5=x26C1+2C2+6C3+2C4+9C5=x35C1+7C2+6C3+2C4+6C5=x4
Составим из координат векторов матрицу и найдем ее ранг:
a1:8665a2:9227a3:2866a4:5922a5:7896
Разделим третью строку на 2 и поменяем местами первую и третью строки
a3:1433a2:9227a1:8665a4:5922a5:7896
Умножим первую строку на (-9) и сложим со второй, умножим первую строку на (-8) и сложим с третьей, умножим первую строку на (-5) и сложим с четвертой, умножим первую строку на (-7) и сложим с пятой:
a3:1433a2:0-34-25-20a1:0-26-18-19a4:0-11-13-13a5:0-20-12-15
Умножим вторую строку на (-26) и сложим с третьей, умноженной на 34
Умножим вторую строку на (-11) и сложим с четвертой, умноженной на 34
Умножим вторую строку на (-20) и сложим с пятой, умноженной на 34
a3:1433a2:0-34-25-20a1:0038-126a4:00-167-222a5:0092-110
Умножим третью строку на (167) и сложим с четвертой, умноженной на 38
Умножим третью строку на (-92) и сложим с пятой, умноженной на 38
a3:1433a2:0-34-25-20a1:0038-126a4:000-32628a5:0007412
Умножим четвертую строку на (7412) и сложим с пятой, умноженной на 32628
a3:1433a2:0-34-25-20a1:0038-126a4:000-32628a5:0000
В базис подпространства входят вектора: a1,a2,a3,a4
Выразим вектор a5 через базис a1,a2,a3,a4
a5=x1a1+x2a2+x3a3+x4a4
В координатной форме:
7;8;9;6=x18;6;6;5+x29;2;2;7+x32;8;6;6+x45;9;2;2
Данному равенству соответствует система уравнений:
8x1+9x2+2x3+5x4=76x1+2x2+8x3+9x4=86x1+2x2+6x3+2x4=75x1+7x2+6x3+2x4=6
Решим систему по формулам Крамера:
∆=8925628962625762=Умножим второй столбец на -3 и сложим с первымУмножим второй столбец на -3 и сложим с третьимУмножим второй столбец на -3 и сложим с четвертым=
=-197-25-402270200-167-15-5=Разложим по третьей строке=-2∙-19-25-4027-16-15-5=
=-2∙190+2800-128-1995=-1734
∆1=7925828972626762=Умножим первую строку на -4 и сложим со второйУмножим первую строку на -3 и сложим с третьейУмножим первую строку на -3 и сложим с четвертой
=7925-20-340-11-14-250-13-15-200-13=Разложим по третьему столбцу=2∙-20-34-11-14-25-13-15-20-13=
=2∙-6500-6630-3080+4125+6188+5200=-1394
∆2=8725688967625662=Умножим первую строку на -4 и сложим со второйУмножим первую строку на -3 и сложим с третьейУмножим первую строку на -3 и сложим с четвертой=
=8725-26-200-11-18-140-13-19-150-13=Разложим по третьему столбцу=2∙-26-20-11-18-14-13-19-15-13=
=2∙-4732-4940-2970+2926+4680+5070=68
∆3=8975628962725762=Умножим четвертую строку на -1 и сложим с третьейУмножим четвертую строку на -4,5 и сложим со второйУмножим четвертую строку на -4,5 и сложим с первой=
=-4,5-8,5-80-16,5-29,5-1901-5105762=Разложим по четвертому столбцу=
=2∙-4,5-8,5-8-16,5-29,5-191-51=2∙132,75+161,5-660-236-140,25+427,5=
=-629
∆4=8927628862675766=Умножим первую строку на -4 и сложим со второйУмножим первую строку на -3 и сложим с третьейУмножим первую строку на -3 и сложим с четвертой=
=8927-26-340-20-18-250-14-19-200-15=Разложим по третьему столбцу=2∙-26-34-20-18-25-14-19-20-15=
=2∙-9750-9044-7200+9500+9180+7280=-68
По формулам Крамера:
x1=∆1∆=-1394-1734=4151
x2=∆2∆=68-1734=-251
x3=∆3∆=-629-1734=37102
x4=∆4∆=-68-1734=251
a5=4151a1-251a2+37102a3+251a4
a54151;-251;37102;251 в базисе a1,a2,a3,a4
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
