Подобрать прокатный профиль сечения из условия общей устойчивости стержня

Предел текучести для стали σт=360 Мпа. Принимая коэффициент запаса прочности n=2,0, определяем допускаемое (по прочности на сжатие) напряжение:
σ=σтn=3602=180 МПа.
Коэффициент приведения длины для данного способа закрепления стержня μ=0,54.
2. Рассматриваемый стержень может потерять общую устойчивость либо в плоскости XY , либо в плоскости XZ (эти плоскости являются главными плоскостями инерции). Момент инерции сечения стержня Jz (следовательно, и устойчивость стержня в плоскости XY) зависит только от размеров сечения швеллеров, поэтому номер швеллера определим из условия устойчивости стержня в плоскости XY. Расчет будем вести с помощью коэффициента снижения основных допускаемых напряжений материала стержня на сжатие - . Расчет в данном случае является проектным, гибкость стержня не известна и расчет приходится производить методом последовательных приближений.
Первое приближение
Так как коэффициент может изменяться в пределах 0<φ<1, то его значение в первом шаге приближения можно принять φ=0.5. Тогда требуемая площадь поперечного сечения стержня:
F1=Pφ1∙σ=1500000,5∙180∙106=16,66∙10-4 м2=16,66 см2.
Площадь сечения одного швеллера Fшв=F12=8,33 см2. По сортаменту швеллеров (ГОСТ 8240-97) принимаем швеллер №8 с площадью Fшв=8,98 см2. Таким образом, фактическая площадь сечения в первом приближении оказывается равной Fбр,1=17,96 см2. Радиус инерции сечения всего стержня относительно оси Z равен радиусу инерции одного швеллера (по сортаменту) iz=3,16 см. (Радиус инерции сечения всего стержня относительно оси Z равен радиусу инерции одного швеллера).
Гибкость стержня:
λ1=μliz=0,54∙11003,16=188,0>λпр=200.
Коэффициент продольного изгиба для стали с допускаемым напряжением σ=180 МПа и λ1=188:
φ1=0,21-0,233-0,2110∙2=0,205.
Напряжение в сечении стержня:
σ=Pφ1∙Fбр,1=1500000,205∙17,96∙10-4=407,41∙106 Па=
=407,41 МПа>σ=180 МПа.
Второе приближение
Примем во втором приближении:
φ2=0,5+φ12=0,5+0,2052=0,35.
Тогда площадь сечения стойки:
F2=Pφ∙σ=1500000,35∙180∙106=23,81∙10-4 м2=23,81 см2
По ГОСТ 8240-89 принимаем швеллер № 12 с Fш=13,3 см2 и площадью сечения стойки F=26,6 см2 . Радиус инерции iz=4,78 см.
Гибкость стойки:
λ2=μliz=0,54∙11004,78=124,27.
Коэффициент продольного изгиба для λ2=124,27:
φ=0,479-0,479-0,42510∙4,27=0,456.
Напряжение в сечении стойки:
σ=Pφ∙Fбр,2=1500000,456∙26,6∙10-4=123664424,2 Па=123,66 МПа
Недонапряжение составляет 31,3%.
Третье приближение
Ближайшим к принятому швеллеру будет швеллер № 10, с Fшв=10,9 см2 и Fбр,3=21,8 см2 и iz=3,99.
Гибкость стержня:
λ3=λ2=μliz=0,54∙11003,99=148,87.
Коэффициент продольного изгиба:
φ3=0,376-0,376-0,32810∙8,87=0,333;
σ=Pφ∙Fбр,2=1500000,333∙21,8∙10-4=206,62 ∙106 Па=206,62 МПа
Перенапряжение составляет 14,8%.
Окончательно принимаем сечение стойки 2 швеллера № 12 с Fш=13,3 см2 и площадью сечения стойки F=26,6 см2. Радиус инерции iz=4,78 см. Iz=304 см4; Iy=31,2 см4. iz=4,78 см. iy=1,53 см. z0=1,54 см.
3. Определим расстояние a между швеллерами в сечении из условия обеспечения общей устойчивости стержня (из плоскости Y). Расстояние должно быть таким, чтобы устойчивость стержня в плоскости XZ была не меньше чем в плоскости XY, следовательно (считая закрепление стержня в главных плоскостях инерции стержня одинаковым), должно выполняться условие . Момент инерции сечения стержня относительно оси Z равен удвоенному моменту инерции одного швеллера относительно той же оси – 2Jz. Момент инерции всего сечения относительно оси Y по теореме Штейнера: Iy=2Iy,ш+Fш∙a12 , где Fш - площадь одного швеллера; Iy,ш - момент инерции одного швеллера относительно собственной центральной оси Y1; a1 - расстояние между осями Y и Y1. Учитывая, что , условие можно записать в виде . Полагая, что обеспечение устойчивости стойки будет обеспечено при равенстве моментов инерции относительно осей Z и Y, найдем расстояние a между стенками швеллеров