По сгруппированным данным построить а) полигон относительных частот; б) гистограмму относительных частот

Составим интервальный вариационный ряд
Разобьем всю вариацию объемом n=100 на k=10 частичных интервалов равной длины и посчитаем частоты попадания наблюдаемых значений в частичный интервалы.
Так как xmax=63, xmin=14, то найдем длину частичного интервала:
h=xmax-xmink=63-1410=4,9≈5
Примем начало первого интервала
x0=xmin-h2=14-52≈13
Исходные данные разбиваем на 10 интервалов: 13;18, (18;23], (23;28], (28;33], (33;38], (38;43], (43;48], (48;53], (53;58],(58;63].
Посчитав частоты mi, попавших из полученных промежутков, получим интервальный вариационный ряд.
Составим вариационный ряд частот и относительных частот:
i
Интервал
(xi-1;xi]
Середина интервала xi=xi-1+xi2
Частота mi
Частость pi*=min
1 13;18
15,5 1 0,01
2 (18;23] 20,5 3 0,03
3 (23;28]
25,5 5 0,05
4 (28;33]
30,5 10 0,1
5 (33;38], 35,5 18 0,18
6 (38;43]
40,5 22 0,22
7 (43;48]
45,5 23 0,23
8 (48;53]
50,5 4 0,04
9 (53;58]
55,5 10 0,1
10 (58;63]
60,5 4 0,04
∑
100 1
Статистическое распределение выборки является оценкой неизвестного распределения. В частности, относительные частоты pi* являются статистическими аналогами вероятностей полной группы несовместных событий.
2. Вторым этапом обработки статистических данных является построение полигона, гистограммы относительных частот и эмпирической функции распределения.
а) Полигон относительных частот вариационного ряда – ломаная линия, соединяющая точки xi,pi*. График полигона представлен на рис. 1.
Рис. 1 Полигон относительных частот
Полигон относительных частот является статистическим аналогом многоугольника распределения дискретной случайной величины Х.
б) Гистограмма относительных частот изображается только для интервального ряда и имеет вид ступенчатой фигуры (рис. 2). На каждом частичном интервале строим прямоугольник высотой fi*=pi*h
Рис. 2 Гистограмма относительных частот
Гистограмма относительных частот является статистическим аналогом дифференциальной функции распределения (плотности) f(x) непрерывной случайной величины Х.
в) Для интервального вариационного ряда эмпирическая функция распределения совпадает с кумулятой. Значение F*(x) найдем по формуле:
F*x=xi<xmin
Отметим на плоскости точки, соответствующие значениям функции F*x на концах интервалов, и соединим их отрезками прямых (рис.3)
x
x≤13
18 23 28 33 38 43 48 53 58 x≥63
F*x
0 0,01 0,04 0,09 0,19 0,37 0,59 0,82 0,86 0,96 1
Рис.3 Эмпирическая функция распределения
3. Найдем числовые характеристики выборки:
Мода М0* находится внутри интервала, для которого соответствующая частота максимальна. В нашем случае М0*∈(43;48], при этом p7*=0,23.
Моду вычислим по формуле
М0*=xi-1+hi∙pi*-pi-1*pi*-pi-1*+pi*-pi+1*
где hi=5, pi-1*=0,22 и pi*=0,23, pi+1*=0,04, xi-1=43
Подставляем в формулу, получаем
М0*=43+5∙0,23-0,220,23-0,22+0,23-0,04=43
Медиана Ме* интервального вариационного ряда принадлежит тому частотному интервалу, для которого накопленная частота составляет половину или больше половины всей суммы частот, а предыдущая накопленная частота меньше половины всей суммы частот . Геометрически прямая x=Ме* делит площадь гистограммы пополам. Медиана может быть приближённо найдена на чертеже графика F*x (рис. 3), как значение признака, для которого F*Ме*=0,5. Для данного вариационного ряда значение (38; 43]
Медиану найдем по формуле
Ме*=xi-1+hipi*∙0,5-j=1i-1hjpj*
По условию нашей задачи xi-1=38, hi=5, pi*=0,22,
j=1i-1hjpj*=0,01+0,03+0,05+0,1+0,18=0,37
Подставляем в формулу
Ме*=38+50,22∙0,5-0,37=41
Для нахождения выборочной средней xв, выборочной дисперсии Dв , выборочного среднего квадратического отклонения σв (статистические аналоги соответствующих числовых характеристик случайной величины) заполним вспомогательную таблицу.
i
xi
mi
pi*
xipi*
xi2pi*
1 15,5 1 0,01 0,16 2,4
2 20,5 3 0,03 0,62 12,6
3 25,5 5 0,05 1,28 32,5
4 30,5 10 0,1 3,05 93,0
5 35,5 18 0,18 6,39 226,8
6 40,5 22 0,22 8,91 360,9
7 45,5 23 0,23 10,47 476,2
8 50,5 4 0,04 2,02 102,0
9 55,5 10 0,1 5,55 308,0
10 60,5 4 0,04 2,42 146,4
∑
100
40,85 1760,9
Находим выборочное среднее:
xв=M*X=i=110xipi*=40,85
Находим выборочную дисперсию:
Dв=i=110xi2pi*-xв2=1760,9-40,852=92,18
Найдем среднее квадратическое отклонение
σв=Dв=92,18≈9,60
Найдем исправленное среднее квадратическое отклонение
s=nn-1∙Dв=100100-1∙92,18≈9,65
Так как число наблюдений n = 100 достаточно велико, то вместо s можно использовать неисправленную выборочную дисперсию σв .
Вычислим коэффициент вариации
V*=σвxв∙100%=9,640,85∙100%≈23,5%
Поскольку V*≤30%, то совокупность однородная, а вариация слабая.
Для вычисления коэффициента ассиметрии и эксцесса составим расчетную таблицу
i
xi
pi*
xi-xв
xi-xв3pi*
xi-xв4pi*
1 15,5 0,01 -25,35 -162,905 4129,637
2 20,5 0,03 -20,35 -252,822 5144,923
3 25,5 0,05 -15,35 -180,84 2775,898
4 30,5 0,1 -10,35 -110,872 1147,523
5 35,5 0,18 -5,35 -27,5635 147,4646
6 40,5 0,22 -0,35 -0,00943 0,003301
7 45,5 0,23 4,65 23,12526 107,5325
8 50,5 0,04 9,65 35,94529 346,872
9 55,5 0,1 14,65 314,422 4606,282
10 60,5 0,04 19,65 303,4923 5963,623
∑
-28,5 -58,03 24369,76
Выборочный центральный момент 3-го порядка вычислим по формуле:
μ3*=i=110xi-xв3∙pi*=-58,03
Находим выборочный коэффициент ассиметрии:
as*=μ3*σв3=-58,039,63≈-0,066
Так как as*<0 свидетельствует о левосторонней ассиметрии.
Выборочный центральный момент 4-го порядка вычислим по формуле:
μ4*=i=110xi-xв4∙pi*=24369,76
Находим выборочный коэффициент эксцесса:
εk*=μ4*σв4-3=24369,769,64-3≈2,869-3=-0,131
Поскольку εk*<0, то полосковершинное распеделение.
4. Точечной оценкой математического ожидания a является средняя выборочная xв, тогда полагаем xв=а=40,85; точечной оценкой генерального среднего квадратического отклонения σ является исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение, то есть σ=s=9,6.
а) Построим на чертеже гистограммы её теоретический аналог f (x).
Вид гистограммы относительных частот напоминает график плотности функции fx=12π∙σ∙e-(x-a)22∙σ2 нормального распределения непрерывной случайной величины Х.
Построим на одном чертеже с гистограммой относительных частот pi* (рис.2) ее теоретический аналог fx=12π∙9,6∙e-(x-40.85)22∙9,62
Рис