По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (У, млн. руб.) от объема капиталовложений (Х, млн. руб.).
Данные к задаче №1
Вариант Наблюдения
4 Y 60 68 74 76 84 86 92
X 50 54 60 62 70 66 74
Требуется:
1. Для характеристики У от Х построить следующие модели:
линейную,
степенную,
показательную,
гиперболическую.
2. Оценить каждую модель, определив:
индекс корреляции,
среднюю относительную ошибку,
коэффициент детерминации,
F-критерий Фишера.
3. Составить сводную таблицу вычислений, выбрать лучшую модель, дать интерпретацию рассчитанных характеристик.
4. Рассчитать прогнозное значение результативного признака, если прогнозное значение фактора увеличится на 110% относительно среднего уровня.
5. Результаты расчетов отобразить на графике.
Решение
1. и 2. Построение моделей регрессии. Оценка моделей
ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ
Уравнение линейной регрессии строим в виде
y=a+b∙x
Значения параметров a и b линейной модели рассчитываются по формулам
b=y*x-y·xx2-(x)2
a=y-b∙x
Проводим расчеты во вспомогательной таблице с использованием Excel
n = 7 – число наблюдений
m = 1 –число факторов в уравнении
b=4884,0-77,143·62,2863941,714-62,2862=1,272
a=77,143-1,272∙62,286=-2,063
Уравнение регрессии имеет вид
y=-2,063+1,272∙x
С увеличением объема капиталовложений (x) на 1 млн руб. объем выпускаемой продукции (y) увеличивается в среднем на 1,272 млн. руб.
Линейный коэффициент парной корреляции определяется по формуле
rxy=(y-y)*(x-x)(y-y)2*(x-x)2
Расчеты проведены в Excel
rxy=553,714734,857*435,429=0,9789
Можно сказать, что связь между объемом капиталовложений (x) и объемом выпуска продукции (y) прямая (так как rxy>0), очень сильная (так как rxy близок к 1).
Коэффициент детерминации определяется как квадрат коэффициента корреляции
R2=rxy2=0,97892=0,9582
Вариация объема выпуска продукции (y) на 95,82% объясняется вариацией фактора объем капиталовложений (x).
Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерия Фишера. Расчетное значение критерия
F=rxy21-rxy2*n-2=0,95821-0,95822*7-2=114,59
Табличное значение критерия Фишера Fтаблα,k1,k2 при уровне значимости α=0,05 и числе степеней свободы k1=m=1 и k2=n-m-1=5
Fтабл=6,61
Так как F>Fтабл, то уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимо.
Определим среднюю относительную ошибку
E=1n∙yi-yiyi∙100%
E=17∙0,1429∙100%=2,042%
В среднем расчетные значения y для линейной модели отличаются от фактических значений yi на 2,042%.
СТЕПЕННАЯ МОДЕЛЬ
Уравнение степенной модели имеет вид
y=a∙xb
Для построения модели проводим линеаризацию переменных
. Логарифмируем обе части уравнения
lgy=lga+b*lgx
Вводим новые переменныеY=lgyи X=lgx
Обозначаем A=lga
Тогда уравнение степенной модели примет линейный вид
Y=A+b∙X
Рассчитаем его параметры по формулам
b=YX-Y∙XX2-(X)2
A=Y-b∙X
Проводим расчеты во вспомогательной таблице с использованием Excel
b=3,376-1,883∙1,7913,210-1,7912=1,040
A=1,883-1,040∙1,791=0,021
Получаем линеаризованное уравнение
Y=0,021+1,040∙X
Перейдем к исходным переменным x и y:
y=100,021∙x1,040
Получаем искомое уравнение степенной регрессии
y=1,050∙x1,040
Индекс корреляции рассчитаем по формуле
ρyx=1-(yi-yi)2(yi-y)2
ρyx=1-31,046734,857=0,9786
Нелинейная связь между результатом y и фактором x сильная.
Коэффициент детерминации
R2=ρXY2=0,9792=0,9578
Вариация объема выпуска продукции (y) на 95,78% объясняется вариацией фактора объем капиталовложений (x).
Оценка значимости уравнения. Расчетное значение критерия:
F=R21-R2*n-2=0,95781-0,95782*7-2=113,35
Табличное значение критерия Фишера Fтаблα,k1,k2 при уровне значимости α=0,05 и числе степеней свободы k1=1 и k2=5
Fтабл=6,61
Так как F>Fтабл, то уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимо.
Средняя относительная ошибка
E=1n∙yi-yiyi∙100%
E=17∙0,1434∙100%=2,049%
В среднем расчетные значения y для степенной модели отличаются от фактических значений yi на 2,049%.
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ МОДЕЛЬ
Уравнение показательной модели имеет вид
y=a∙bx
Для построения модели проводим линеаризацию переменных. Логарифмируем обе части уравнения
lgy=lga+x*lgb
Вводим новую переменнуюY=lgy
Обозначаем A=lga, B=lgb
Тогда уравнение степенной модели примет линейный вид
Y=A+B∙x
Рассчитаем его параметры по формулам
B=Yx-Y∙xx2-(x)2
A=Y-b∙x
Проводим расчеты в Excel
B=117,761-1,883∙62,2863941,714-62,2862=0,007
A=1,883-0,007∙62,286=1,426
Получаем линеаризованное уравнение
Y=1,426+0,007∙x
Вернемся к исходным переменным x и y:
y=101,426∙100,007x
Получаем искомое уравнение показательной регрессии
y=26,69∙1,017x
Индекс корреляции
ρyx=1-(yi-yi)2(yi-y)2
ρyx=1-39,166734,857=0,9730
Нелинейная связь между результатом y и фактором x сильная.
Коэффициент детерминации
R2=ρXY2=0,97302=0,9467
Вариация объема выпуска продукции (y) на 94,67% объясняется вариацией фактора объем капиталовложений (x).
Оценка значимости уравнения
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
