По матрице составить квадратичную форму Ф. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
По матрице составить квадратичную форму Ф

По матрице составить квадратичную форму Ф .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

По матрице составить квадратичную форму Ф(x,y,z). Привести ее к каноническому виду. Найти ортонормированный канонический базис. Является ли квадратичная форма положительно или отрицательно определенной? -43-33-3-2-3-2-3

Нужно полное решение этой работы?

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Составим квадратичную форму по формуле:
a11x2+a22y2+a33z2+a12xy+a13xz+a21yx+a23yz+a31zx+a32zy
-4x2-3y2-3z2+3xy-3xz+3yx-2yz-3zx-2zy
-4x2-3y2-3z2+6xy-6xz-4yz
Найдем собственные значения и собственные векторы матрицы квадратичной формы:
-4-λ3-33-3-λ-2-3-2-3-λ=0
-4+λ(3+λ)2+18+18+93+λ+93+λ+44+λ=0
-4+λ9+6λ+λ2+106+22λ=0
-36-9λ-24λ-6λ2-4λ2-λ3+106+22λ=0
-λ3-10λ2-11λ+70=0
Будем искать корни среди делителей свободного члена:
λ=1 -1-10-11+70≠0
λ=2 -8-40-22+70=0
Разделим многочлен на λ-2
-λ3-10λ2-11λ+70
-λ3+2λ2
λ-2
-λ2-12λ-35
-12λ2-11λ+70
-12λ2+24λ
-35λ+70
-35λ+70
0
-λ3-10λ2-11λ+70=-λ-2λ2+12λ+35=-λ-2λ+7λ+5
-λ-2λ+7λ+5=0
λ1=2 λ2=-7 λ3=-5
Так как собственные значения матрицы квадратичной формы различные по знаку, то квадратичная форма не является знакоопределенной.
Найдем собственные векторы:
λ1=2
-63-33-5-2-3-2-5X=0
C помощью элементарных преобразований над строками матрицы преобразуем матрицу системы в трапециевидную:
-63-33-5-2-3-2-5~Поменяем местами первую и вторую строки
3-5-2-63-3-3-2-5~Умножим первую строку на 2 и сложим со второйСложим первую и третью строки
3-5-20-7-70-7-7~Умножим вторую строку на -1 и сложим с третьей
3-5-20-7-7000~3-5-20-7-7
Ранг матрицы равен 2.
3x1-5x2-2x3=0-7x2-7x3=0
Пусть x3 - свободная переменная, x1,x2 - базисные . Выразим базисные переменные через свободную
x1=-x3x2=-x3
Положив x3=1 получим собственный вектор:
f1=-1,-1,1
λ2=-7
33-334-2-3-24X=0
C помощью элементарных преобразований над строками матрицы преобразуем матрицу системы в трапециевидную:
33-334-2-3-24~Умножим первую строку на -1 и сложим со второйСложим первую и третью строки
33-3011011~Умножим вторую строку на -1 и сложим с третьей
33-3011000~33-3011
Ранг матрицы равен 2.
3x1+3x2-3x3=0x2+x3=0
Пусть x3 - свободная переменная, x1,x2 - базисные

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу