По данным таблицы выполнить следующие действия:
Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи.
Рассчитать параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессии.
Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
Дать с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
Оценить с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.
Оценить адекватность модели с помощью показателей качества коэффициентов регрессии.
Оценить с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 3, 4, 5, 6 и данном пункте, выбрать лучшее уравнение регрессии и дать его обоснование.
Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 15% от его среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости α=0,05.
Оценить полученные результаты, выводы оформить в отчете.
Годы Прирост ВВП, млрд. дол. Экспорт,
млрд.до л.
Y X
1985 12,116 27,42
1986 8,111 30,91
1988 11,311 47,5
1989 4,612 52,5
1990 3,801 62,1
1991 9,305 71,8
1992 14 84,9
1993 13,32 91,7
1994 11,663 121
Решение
1) Строим поле корреляции (диаграмму рассеивания), для чего на координатную плоскость Оху наносим точки с координатами (хi,уi) (рис.1).
Рис.1 – Поле корреляции
По виду точек на диаграмме трудно сделать предположение о какой-либо зависимости между переменными х и у.
2) Уравнение линейной регрессии ищем в виде .
Для нахождения коэффициентов регрессии a и b воспользуемся методом наименьших квадратов, для чего составим расчетную таблицу 1.
Таблица 1 – Расчетная таблица для нахождения коэффициентов линейной регрессии.
i xi yi x2i y2i xiyi
1 27,42 12,116 751,8564 146,797456 332,22072
2 30,91 8,111 955,4281 65,788321 250,71101
3 47,5 11,311 2256,25 127,938721 537,2725
4 52,5 4,612 2756,25 21,270544 242,13
5 62,1 3,801 3856,41 14,447601 236,0421
6 71,8 9,305 5155,24 86,583025 668,099
7 84,9 14 7208,01 196 1188,6
8 91,7 13,32 8408,89 177,4224 1221,444
9 121 11,663 14641 136,025569 1411,223
Σ 589,83 88,239 45989,3345 972,273637 6087,74233
Средние 65,537 9,804 5109,926 108,030 676,416
По данным таблицы 1 определяем следующие величины:
– выборочные средние:
– вспомогательные величины:
– выборочные дисперсии и среднеквадратические отклонения:
Определим коэффициенты линейной зависимости у от х. Согласно методу наименьших квадратов они находятся по формулам:
Поэтому коэффициенты регрессии будут равны
Тогда уравнение связи будет иметь вид .
Покажем линейную линию регрессии на графике исходных данных (рис.2).
Рис.2 – График линейной регрессии
Степенное уравнение регрессии имеет вид y = axb (ln y = ln a + b ln x)
Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.
Система уравнений МНК:
an + b∑x = ∑y
a∑x + b∑x2 = ∑y*x
ln(x) ln(y) ln(x)2 ln(y)2 ln(x)*ln(y)
3.3113 2.4945 10.9645 6.2227 8.2601
3.4311 2.0932 11.7723 4.3816 7.182
3.8607 2.4258 14.9052 5.8844 9.3653
3.9608 1.5287 15.688 2.3368 6.0547
4.1287 1.3353 17.0465 1.7829 5.513
4.2739 2.2306 18.2661 4.9754 9.5331
4.4415 2.6391 19.7267 6.9646 11.7213
4.5185 2.5893 20.417 6.7043 11.6997
4.7958 2.4564 22.9996 6.034 11.7805
36.7223 19.7927 151.7861 45.2867 81.1096
Для наших данных система уравнений имеет вид:
9a + 36.722·b = 19.793
36.722·a + 151.786·b = 81.11
Решение системы:
a = 1.4665, b = 0.1796
Уравнение регрессии:
y = 4.33383x0.1796
Построим график степенного тренда (рис.3).
Рис.3 – График степенной регрессии
Экспоненциальное уравнение регрессии имеет вид y = a ebx (ln y = ln a + bx)
Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.
Система уравнений МНК:
an + b∑x = ∑y
a∑x + b∑x2 = ∑y*x
x ln(y) x2 ln(y)2 x*ln(y)
27.42 2.4945 751.8564 6.2227 68.3999
30.91 2.0932 955.4281 4.3816 64.7015
47.5 2.4258 2256.25 5.8844 115.2243
52.5 1.5287 2756.25 2.3368 80.2547
62.1 1.3353 3856.41 1.7829 82.9199
71.8 2.2306 5155.24 4.9754 160.1536
84.9 2.6391 7208.01 6.9646 224.056
91.7 2.5893 8408.89 6.7043 237.4358
121 2.4564 14641 6.034 297.227
589.83 19.7927 45989.3345 45.2867 1330.3727
Для наших данных система уравнений имеет вид:
9a + 589.83·b = 19.793
589.83·a + 45989.335·b = 1330.373
Решение системы:
a = 1.9023, b = 0.00453
Уравнение регрессии:
y = e1.9023151468986e0.00453x = 6.70139e0.00453x
Построим график экспоненциального тренда (рис.4).
Рис.4 – График экспоненциальной регрессии
Логарифмическое уравнение регрессии имеет вид y = b ln(x) + a
Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.
Система уравнений МНК:
an + b∑x = ∑y
a∑x + b∑x2 = ∑y*x
ln(x) y ln(x)2 y2 ln(x)*y
3.3113 12.116 10.9645 146.7975 40.1194
3.4311 8.111 11.7723 65.7883 27.8295
3.8607 11.311 14.9052 127.9387 43.6687
3.9608 4.612 15.688 21.2705 18.2673
4.1287 3.801 17.0465 14.4476 15.6934
4.2739 9.305 18.2661 86.583 39.7685
4.4415 14 19.7267 196 62.1806
4.5185 13.32 20.417 177.4224 60.1867
4.7958 11.663 22.9996 136.0256 55.9333
36.7223 88.239 151.7861 972.2736 363.6474
Для наших данных система уравнений имеет вид:
9a + 36.722·b = 88.239
36.722·a + 151.786·b = 363.647
Решение системы:
a = 2.25, b = 1.8514
Уравнение регрессии:
y = 1.8514 ln(x) + 2.25
Построим график полулогарифмического тренда (рис.5).
Рис.5 – График полулогарифмической регрессии
Гиперболическое уравнение регрессии имеет вид y = b/x + a
Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.
Система уравнений МНК:
an + b∑1/x = ∑y
a∑1/x + b∑1/x2 = ∑y/x
1/x y 1/x2 y2 y/x
0.03647 12.116 0.00133 146.7975 0.4419
0.03235 8.111 0.00105 65.7883 0.2624
0.02105 11.311 0.000443 127.9387 0.2381
0.01905 4.612 0.000363 21.2705 0.08785
0.0161 3.801 0.000259 14.4476 0.06121
0.01393 9.305 0.000194 86.583 0.1296
0.01178 14 0.000139 196 0.1649
0.01091 13.32 0.000119 177.4224 0.1453
0.00826 11.663 6.8E-5 136.0256 0.09639
0.1699 88.239 0.00396 972.2736 1.6276
Для наших данных система уравнений имеет вид:
9a + 0.17·b = 88.239
0.17·a + 0.00396·b = 1.628
Решение системы:
a = 10.7592, b = -50.5793
Уравнение регрессии:
y = -50.5793 / x + 10.7592
Построим график гиперболического тренда (рис.6).
2730307-3828664R2=0.018
у=-50,5793/х+10,7592
0R2=0.018
у=-50,5793/х+10,7592
Рис.6 – График гиперболической регрессии
3) Оценим тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
Линейная регрессия.
Для оценки тесноты связи переменных вычислим выборочный коэффициент корреляции
.
Данное значение коэффициента корреляции позволяет судить о прямой умеренной линейной зависимости между переменными х и у.
Проверим значимость коэффициента корреляции
. Для этого рассмотрим нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции между переменными х и у. Вычисляем наблюдаемое значение t-статистики:
Для уровня значимости α=0,05 при степенях свободы ν=n-2=9-2=7 по таблице распределения Стьюдента находим критическое значение статистики
.
Так как , то нулевая гипотеза о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции принимается.
Таким образом, коэффициент корреляции статистически незначим.
Вычислим теперь коэффициент детерминации:
.
Коэффициент детерминации R2 показывает, что доля разброса зависимой переменной, объясняемая регрессией у на х, равна 11,8%, что говорит о том, что практически прирост ВВП (у) на 11,8% зависит от экспорта (х), остальные 88,2% вариации результативного признака обусловлены неучтенными факторами.
Степенная регрессия.
Составим расчетную таблицу.
x y y(x) (yi-ycp)2 (y-y(x))2 |y - yx|:y
27.42 12.116 7.855 5.344 18.16 0.352
30.91 8.111 8.025 2.867 0.00732 0.0106
47.5 11.311 8.669 2.27 6.979 0.234
52.5 4.612 8.826 26.96 17.761 0.914
62.1 3.801 9.097 36.04 28.043 1.393
71.8 9.305 9.337 0.249 0.00101 0.00342
84.9 14 9.622 17.604 19.166 0.313
91.7 13.32 9.756 12.36 12.701 0.268
121 11.663 10.254 3.455 1.985 0.121
589.83 88.239 81.441 107.149 104.803 3.607
Эмпирическое корреляционное отношение.
Эмпирическое корреляционное отношение вычисляется для всех форм связи и служит для измерение тесноты зависимости. Изменяется в пределах [0;1].
EQ η = \r(\f(∑(\x\to(y) - yx)2; ∑(yi - \x\to(y))2) )
EQ η = \r(\f(2.346;107.15)) = 0.148
где
EQ ∑(\x\to(y) - yx)2 = 107.15 - 104.8 = 2.346
В отличие от линейного коэффициента корреляции он характеризует тесноту нелинейной связи и не характеризует ее направление. Изменяется в пределах [0;1].
Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:
0.1 < η < 0.3: слабая;
0.3 < η < 0.5: умеренная;
0.5 < η < 0.7: заметная;
0.7 < η < 0.9: высокая;
0.9 < η < 1: весьма высокая;
Полученная величина свидетельствует о том, что изменение x не существенно влияет на y.
Индекс детерминации.
EQ R2 = 1 - \f(∑(yi - yx)2;∑(yi - \x\to(y))2)
EQ R2 = 1- \f(104.8;107.15) = 0.0219
т.е. в 2.19% случаев x влияет на изменение y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - низкая.
Экспоненциальная регрессия.
Составим расчетную таблицу.
x y y(x) (yi-ycp)2 (y-y(x))2 |y - yx|:y
27.42 12.116 7.588 5.344 20.506 0.374
30.91 8.111 7.709 2.867 0.162 0.0496
47.5 11.311 8.31 2.27 9.005 0.265
52.5 4.612 8.501 26.96 15.121 0.843
62.1 3.801 8.878 36.04 25.78 1.336
71.8 9.305 9.277 0.249 0.000769 0.00298
84.9 14 9.844 17.604 17.268 0.297
91.7 13.32 10.152 12.36 10.033 0.238
121 11.663 11.593 3.455 0.00484 0.00596
589.83 88.239 81.853 107.149 97.881 3.411
Эмпирическое корреляционное отношение:
EQ η = \r(\f(9.268;107.15)) = 0.294
Индекс детерминации.
EQ R2 = 1- \f(97.88;107.15) = 0.0865
т.е. в 8.65% случаев x влияет на изменение y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - низкая.
Полулогарифмическая регрессия.
Составим расчетную таблицу.
x y y(x) (yi-ycp)2 (y-y(x))2 |y - yx|:y
27.42 12.116 8.381 5.344 13.953 0.308
30.91 8.111 8.602 2.867 0.241 0.0606
47.5 11.311 9.398 2.27 3.66 0.169
52.5 4.612 9.583 26.96 24.713 1.078
62.1 3.801 9.894 36.04 37.126 1.603
71.8 9.305 10.163 0.249 0.736 0.0922
84.9 14 10.473 17.604 12.439 0.252
91.7 13.32 10.616 12.36 7.313 0.203
121 11.663 11.129 3.455 0.285 0.0458
589.83 88.239 88.239 107.149 100.466 3.812
Эмпирическое корреляционное отношение:
EQ η = \r(\f(6.683;107.15)) = 0.25
Индекс детерминации.
EQ R2 = 1- \f(100.47;107.15) = 0.0624
т.е. в 6.24% случаев x влияет на изменение y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - низкая
Гиперболическая регрессия.
Составим расчетную таблицу.
x y y(x) (yi-ycp)2 (yi-y(x))2 (yi-y(x)) : yi
0.0018050541516245 302 396.478 8561.692 8926.145 0.313
0.0017857142857143 360 396.361 1192.28 1322.121 0.101
0.0018348623853211 310 396.659 7145.221 7509.795 0.28
0.0014880952380952 415 394.556 419.045 417.963 0.0493
0.0012562814070352 452 393.15 3302.869 3463.338 0.13
0.0012870012870013 502 393.336 11549.927 11807.824 0.216
0.0015822784810127 355 395.127 1562.574 1610.184 0.113
0.001453488372093 416 394.346 460.986 468.897 0.0521
0.0012004801920768 501 392.811 11335.986 11704.769 0.216
0.0017331022530329 403 396.042 71.751 48.415 0.0173
0.0017123287671233 208 395.916 34793.221 35312.379 0.903
0.0010537407797682 462 391.921 4552.28 4911.008 0.152
0.0011261261261261 368 392.36 703.81 593.431 0.0662
0.0012033694344164 399 392.829 19.986 38.082 0.0155
0.001779359430605 342 396.322 2759.339 2950.927 0.159
0.0015037593984962 354 394.651 1642.633 1652.493 0.115
0.0014184397163121 558 394.133 26722.633 26852.267 0.294
6707 116796.235 119590.039 3.192
Индекс детерминации
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
