По данным таблицы составить интервальный и дискретный вариационные ряды

Упорядочим вариационный ряд.
значение признака 24 26 27 28 29 30 31 34 35 36 37 39 40 41 48 49 52 54 59
частота 2 3 5 5 2 2 3 2 2 2 5 3 2 2 2 2 1 2 3
Построим интервальный вариационный ряд.
Для построения интервального ряда определим интервальный шаг выборки, воспользовавшись формулой Стерджеса
h=xmax-xmink; k=1+3,322∙lgn
где k – число интервалов;
n – объём выборки, n=50;
xmax – наибольшее значения признака, xmax=59;
xmin – наименьшее значения признака, xmin=24.
Полученную по формуле Стерджесса величину интервалов округляем до целого большего числа, поскольку количество групп не может быть дробным числом.
k=1+3,322∙lg50=6,643978≈7
h=59-247=357=5.
За начало первого интервала примем
x0=xmin=24; xi=24+i∙h=24+5∙i.
В результате получим интервальный ряд.
№
интервала Интервал xi-1; xi
наблюдённых значений Частота ni
1 24; 29
15
2 29;34
7
3 34;39
11
4 39; 44
7
5 44;49
2
6 49; 54
3
7 54;59
5
Итого 50
Построим дискретный вариационный ряд.
Для этого интервалы заменяем их серединами, причем частоты остаются прежними.
Найдем середины интервалов, относительные частоты и накопленные относительные частоты:
№
интервала Середины интервалов, xi
Частота, ni
Относительная частота, wi=nin
Накопленная относительная частота
1 26,5 15 0,3 0,3
2 31,5 7 0,14 0,44
3 36,5 11 0,22 0,66
4 41,5 7 0,14 0,8
5 46,5 2 0,04 0,84
6 51,5 3 0,06 0,9
7 56,5 5 0,1 1,0
Итого 100 1,0
Гистограмма – это ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников. Их основаниями служат частичные интервалы, а высоты равные относительным частотам.
Полигон частот (многоугольник распределения) – ломаная, соединяющая точки с координатами xi;ni или xi;wi.
Найдем числовые характеристики данной выборки.
Рассчитаем несмещенную оценку математического ожидания генеральной совокупности, как среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности:
x=xinin=24∙2+26∙3+27∙5+28∙5+…+54∙2+59∙350=181750=36,34
Дисперсия – характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е . отклонения от среднего – смещенная оценка).
Рассчитаем смещенную дисперсию генеральной совокупности:
D=ni∙xi-x2n=24-36,342∙2+26-36,342∙3+…+59-36,342∙3100=
=304,5512+320,7468+…+1540,426850=4793,2250≈95,86
Рассчитаем несмещенную оценку генеральной дисперсии:
s2=nn-1∙D=5050-1∙95,86=97,82
s=s2=97,82=9,89
Определим коэффициент асимметрии, которая характеризует асимметрию полигона вариационного ряда:
As=xi-x3nin∙s3=24-36,343∙2+…+59-36,343∙350∙9,893=0,858
Вычислим эксцесс, показывающий степень “крутости” выборочного распределения относительно нормального распределения:
Ex=xi-x4nin∙s4-3=24-36,344∙2+…+59-36,344∙350∙9,894-3=-0,304
Рассчитаем интервальные оценки математического ожидания и дисперсии.
Для оценки математического ожидания воспользуемся формулами:
x-sn∙t<xг<x+sn∙t
где s – несмещенная оценка генеральной дисперсии или исправленное среднее квадратическое отклонение,
sn∙t – точность оценки.
В данной задаче t находим из условия tγ; n=t0,95;50=2,009.
Определить интервальную оценку:
36,34-9,8950∙2,009<xг<36,34+9,8950∙2,009
36,33-2,81<xг<36,33+27,79
33,53<xг<39,15
Найдем интервальную оценку для дисперсии:
s∙1-q<sг<s∙1+q; qγ; n=q0,95;50=0,21
Определить интервальную оценку для генерального среднего квадратического отклонения:
9,89∙1-0,21<sг<9,89∙1+0,21
9,89∙0,79<sг<9,89∙1,21
7,81<sг<11,97
Первое неравенство означает, что математическое ожидание с вероятностью 95 % попадёт в интервал 33,53;39,15.
Проверим гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.
Выдвинем гипотезу H0: распределение генеральной совокупности X подчинено нормальному закону с параметрами a=36,34 и σ=9,89