По 20 предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника y (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов x1 ( % от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих x2 (%).
Номер предприятия Номер предприятия
1 7 4 11 11 9 6,5 21
2 7 3,7 13 12 11 6,4 22
3 7 3,9 15 13 9 6,9 22
4 7 4 17 14 11 7,2 25
5 7 4,2 18 15 12 7,5 28
6 7 4,8 19 16 12 8,2 29
7 8 5,3 19 17 12 8,1 30
8 8 5,4 20 18 12 8,6 31
9 8 5,2 20 19 14 9,6 32
10 10 6,8 21 20 14 9,5 36
Требуется:
Построить линейную модель множественной регрессии. Записать стандартизованное уравнение множественной регрессии. На основе стандартизованных коэффициентов регрессии и средних коэффициентов эластичности ранжировать факторы по степени их влияния на результат.
Найти коэффициенты парной, частной и множественной корреляции. Проанализировать их.
Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.
С помощью F-критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии и коэффициента детерминации Ryx1x22.
С помощью t-критерия Стьюдента оценить статистическую значимость параметров чистой регрессии.
С помощью частных F-критериев Фишера оценить целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора x1 после x2 и фактора x2 после x1.
Составить уравнение линейной парной регрессии, оставив лишь один значащий фактор.
Проверить вычисления в MS Excel.
Решение
Для удобства проведения расчетов поместим результаты промежуточных расчетов в таблицу:
№
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 7 4 11 28,00 77,0 44,00 16,00 121 49
2 7 3,7 13 25,90 91,0 48,10 13,69 169 49
3 7 3,9 15 27,30 105,0 58,50 15,21 225 49
4 7 4 17 28,00 119,0 68,00 16,00 289 49
5 7 4,2 18 29,40 126,0 75,60 17,64 324 49
6 7 4,8 19 33,60 133,0 91,20 23,04 361 49
7 8 5,3 19 42,40 152,0 100,70 28,09 361 64
8 8 5,4 20 43,20 160,0 108,00 29,16 400 64
9 8 5,2 20 41,60 160,0 104,00 27,04 400 64
10 10 6,8 21 68,00 210,0 142,80 46,24 441 100
11 9 6,5 21 58,50 189,0 136,50 42,25 441 81
12 11 6,4 22 70,40 242,0 140,80 40,96 484 121
13 9 6,9 22 62,10 198,0 151,80 47,61 484 81
14 11 7,2 25 79,20 275,0 180,00 51,84 625 121
15 12 7,5 28 90,00 336,0 210,00 56,25 784 144
16 12 8,2 29 98,40 348,0 237,80 67,24 841 144
17 12 8,1 30 97,20 360,0 243,00 65,61 900 144
18 12 8,6 31 103,20 372,0 266,60 73,96 961 144
19 14 9,6 32 134,40 448,0 307,20 92,16 1024 196
20 14 9,5 36 133,00 504,0 342,00 90,25 1296 196
Сумма 192,00 125,80 449,00 1293,80 4605,00 3056,60 860,24 10931,00 1958,00
Ср. знач. 9,60 6,29 22,45 64,69 230,25 152,83 43,01 546,55 97,90
Найдем средние квадратические отклонения признаков:
Вычисление параметров линейного уравнения множественной регрессии.
Для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии
необходимо решить следующую систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров , , :
либо воспользоваться готовыми формулами:
237172525400394779514605043307030480
Рассчитаем сначала парные коэффициенты корреляции:
Находим
Таким образом, получили следующее уравнение множественной регрессии:
После нахождения уравнения регрессии составим новую расчетную таблицу для определения теоретических значений результативного признака и остаточной дисперсии.
№
1 7 4 11 6,50 0,25
2 7 3,7 13 6,32 0,46
3 7 3,9 15 6,65 0,12
4 7 4 17 6,89 0,01
5 7 4,2 18 7,16 0,02
6 7 4,8 19 7,84 0,71
7 8 5,3 19 8,36 0,13
8 8 5,4 20 8,52 0,27
9 8 5,2 20 8,32 0,10
10 10 6,8 21 10,03 0,00
11 9 6,5 21 9,72 0,52
12 11 6,4 22 9,68 1,73
13 9 6,9 22 10,20 1,44
14 11 7,2 25 10,70 0,09
15 12 7,5 28 11,21 0,63
16 12 8,2 29 11,99 0,00
17 12 8,1 30 11,95 0,00
18 12 8,6 31 12,53 0,29
19 14 9,6 32 13,63 0,14
20 14 9,5 36 13,79 0,05
Сумма 192,00 125,80 449,00 192,00 6,96
Ср
. знач. 9,60 6,29 22,45 9,60 0,35
Коэффициенты и стандартизованного уравнения регрессии находятся по формулам:
Стандартизированная форма уравнения регрессии имеет вид:
Так как стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать между собой, то можно сказать, что ввод в действие новых основных фондов оказывает большее влияние на выработку продукции, чем удельный вес рабочих высокой квалификации.
Сравнивать влияние факторов на результат можно также при помощи средних коэффициентов эластичности:
Т.е. увеличение только основных фондов (от своего среднего значения) или только удельного веса рабочих высокой квалификации на 1% увеличивает в среднем выработку продукции на 0,68% или 0,15% соответственно. Таким образом, подтверждается большее влияние на результат фактора , чем фактора .
Коэффициенты парной корреляции мы уже нашли:
Они указывают на весьма сильную связь каждого фактора с результатом, а также высокую межфакторную зависимость (факторы и явно коллинеарны, т.к. 0,959> 0.7). При такой сильной межфакторной зависимости рекомендуется один из факторов исключить из рассмотрения.
Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при элиминировании (устранении влияния) других факторов, включенных в уравнение регрессии.
При двух факторах частные коэффициенты корреляции рассчитываются следующим образом:
Если сравнить коэффициенты парной и частной корреляции, то можно увидеть, что из-за высокой межфакторной зависимости коэффициенты парной корреляции дают завышенные оценки тесноты связи. Именно по этой причине рекомендуется при наличии сильной коллинеарности (взаимосвязи) факторов исключать из исследования тот фактор, у которого теснота парной зависимости меньше, чем теснота межфакторной связи.
Коэффициент множественной корреляции определить через матрицу парных коэффициентов корреляции:
где
– определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;
– определитель матрицы межфакторной корреляции.
Коэффициент множественной корреляции
Аналогичный результат получим при использовании других формул:
Коэффициент множественной корреляции показывает на весьма сильную связь всего набора факторов с результатом.
Коэффициент детерминации.
R2= 0,9691922 = 0,939333
Нескорректированный коэффициент множественной детерминации оценивает долю вариации результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
