По 20 предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника y (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов (% от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих (%).
Требуется:
Построить линейную модель множественной регрессии. Записать стандартизованное уравнение множественной регрессии. На основе стандартизованных коэффициентов регрессии и средних коэффициентов эластичности ранжировать факторы по степени их влияния на результат.
Найти коэффициенты парной, частной и множественной корреляции. Проанализировать их.
Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.
С помощью -критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии и коэффициента детерминации .
С помощью частных -критериев Фишера оценить целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора после и фактора после .
Составить уравнение линейной парной регрессии, оставив лишь один значащий фактор.
Номер предприятия Номер предприятия
1 7 3,5 9 11 10 6,3 22
2 7 3,6 10 12 10 6,5 22
3 7 3,9 12 13 11 7,2 24
4 7 4,1 17 14 12 7,5 25
5 8 4,2 18 15 12 7,9 27
6 8 4,5 19 16 13 8,2 30
7 9 5,3 19 17 13 8,4 31
8 9 5,5 20 18 14 8,6 33
9 10 5,6 21 19 14 9,5 35
10 10 6,1 21 20 15 9,6 36
Решение
Для удобства проведения расчетов поместим результаты промежуточных расчетов в таблицу:
№
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 7 3,5 9 24,5 63 31,5 12,25 81 49
2 7 3,6 10 25,2 70 36 12,96 100 49
3 7 3,9 12 27,3 84 46,8 15,21 144 49
4 7 4,1 17 28,7 119 69,7 16,81 289 49
5 8 4,2 18 33,6 144 75,6 17,64 324 64
6 8 4,5 19 36 152 85,5 20,25 361 64
7 9 5,3 19 47,7 171 100,7 28,09 361 81
8 9 5,5 20 49,5 180 110 30,25 400 81
9 10 5,6 21 56 210 117,6 31,36 441 100
10 10 6,1 21 61 210 128,1 37,21 441 100
11 10 6,3 22 63 220 138,6 39,69 484 100
12 10 6,5 22 65 220 143 42,25 484 100
13 11 7,2 24 79,2 264 172,8 51,84 576 121
14 12 7,5 25 90 300 187,5 56,25 625 144
15 12 7,9 27 94,8 324 213,3 62,41 729 144
16 13 8,2 30 106,6 390 246 67,24 900 169
17 13 8,4 31 109,2 403 260,4 70,56 961 169
18 14 8,6 33 120,4 462 283,8 73,96 1089 196
19 14 9,5 35 133 490 332,5 90,25 1225 196
20 15 9,6 36 144 540 345,6 92,16 1296 225
Сумма 206 126 451 1394,7 5016 3125 868,64 11311 2250
Ср. знач. 10,3 6,3 22,55 69,7 250,8 156,25 43,432 565,55 112,5
Найдем средние квадратические отклонения признаков:
2,532
1,934
7,553
Вычисление параметров линейного уравнения множественной регрессии.
Для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии
необходимо решить следующую систему линейных уравнений относительно неизвестных параметров , , :
либо воспользоваться готовыми формулами:
;;
.
Рассчитаем сначала парные коэффициенты корреляции:
0,989
0,969
0,971
Находим
1,099
0,052
2,212
Таким образом, получили следующее уравнение множественной регрессии:
Коэффициенты и стандартизованного уравнения регрессии находятся по формулам:
0,840
0,154
Т.е. уравнение будет выглядеть следующим образом:
.
Так как стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать между собой, то можно сказать, что ввод в действие новых основных фондов оказывает большее влияние на выработку продукции, чем удельный вес рабочих высокой квалификации.
Сравнивать влияние факторов на результат можно также при помощи средних коэффициентов эластичности:
.
Вычисляем:
0,672
0,113
Т.е
. увеличение только основных фондов (от своего среднего значения) или только удельного веса рабочих высокой квалификации на 1% увеличивает в среднем выработку продукции на 0,672% или 0,113% соответственно. Таким образом, подтверждается большее влияние на результат фактора , чем фактора .
Коэффициенты парной корреляции мы уже нашли:
0,989
0,969
0,971
Они указывают на весьма сильную связь каждого фактора с результатом, а также высокую межфакторную зависимость (факторы и явно коллинеарны, т.к. 0,971 > 0,7). При такой сильной межфакторной зависимости рекомендуется один из факторов исключить из рассмотрения.
Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при элиминировании (устранении влияния) других факторов, включенных в уравнение регрессии.
При двух факторах частные коэффициенты корреляции рассчитываются следующим образом:
0,818
0,252
Если сравнить коэффициенты парной и частной корреляции, то можно увидеть, что из-за высокой межфакторной зависимости коэффициенты парной корреляции дают завышенные оценки тесноты связи. Именно по этой причине рекомендуется при наличии сильной коллинеарности (взаимосвязи) факторов исключать из исследования тот фактор, у которого теснота парной зависимости меньше, чем теснота межфакторной связи.
Коэффициент множественной корреляции определим через матрицу парных коэффициентов корреляции:
где
– определитель матрицы парных коэффициентов корреляции;
– определитель матрицы межфакторной корреляции.
Для матрицы размером 3 3 определитель находится по формуле треугольников:
r = 1 0,989 0,969 =
0,989 1 0,971
0,969 0,971 1
= 1 · 1 · 1 + 0,969 · 0,989 · 0,971 + 0,989 · 0,971 · 0,969 –
– 0,969 · 1 · 0,969 – 0,989 · 0,989 · 1 – 1 · 0,971 · 0,971 = 0,0011
r11 = 1 0,971 = 1 – 0,9712 = 0,0574
0,971 1
Коэффициент множественной корреляции
0,990.
Аналогичный результат получим при использовании других формул:
.
Для вычисления остаточной дисперсии вычислим расчетные значения и значение в двух последних столбцах следующей таблицы:
№
1 7 3,5 9 6,523 0,227
2 7 3,6 10 6,685 0,099
3 7 3,9 12 7,118 0,014
4 7 4,1 17 7,595 0,354
5 8 4,2 18 7,757 0,059
6 8 4,5 19 8,138 0,019
7 9 5,3 19 9,018 0,000
8 9 5,5 20 9,289 0,084
9 10 5,6 21 9,451 0,302
10 10 6,1 21 10,000 0,000
11 10 6,3 22 10,272 0,074
12 10 6,5 22 10,492 0,242
13 11 7,2 24 11,364 0,133
14 12 7,5 25 11,746 0,065
15 12 7,9 27 12,288 0,083
16 13 8,2 30 12,773 0,052
17 13 8,4 31 13,044 0,002
18 14 8,6 33 13,367 0,400
19 14 9,5 35 14,460 0,211
20 15 9,6 36 14,621 0,144
Сумма 206 126 451
2,564
Ср
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
