По 10 предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника

Построить линейную модель множественной регрессии. Записать стандартизованное уравнение множественной регрессии. На основе стандартизованных коэффициентов регрессии и средних коэффициентов эластичности ранжировать факторы по степени их влияния на результат.
Для удобства расчетов составим вспомогательную таблицу 2.
Найдем средние квадратические отклонения признаков:
σy=y2-y2=157,90-12,502= 1,285;
σx1=x12-x12=64,18-7,942= 1,065;
σx2=x22-x22=825,70-28,302=4,981.
Рассчитаем парные коэффициенты корреляции:
ryx1=cov(y,x1)σyσx1=100,55-12,50×7,94 1,285× 1,065 = 0,950;
ryx2=cov(y,x2)σyσx2=360-12,50×28,30 1,285×4,981 = 0,977;
rx1x2=cov(x1,x2)σx1σx2=229,89-7,94×28,301,065 × 4,981 = 0,978 .
Таблица 2
Вспомогательная таблица
№ у x1
x2
yx1
yx2
x1x2
x1² x2² у²
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 11,00 6,30 22,00 69,30 242,00 138,60 39,69 484,00 121,00
2 11,00 6,40 22,00 70,40 242,00 140,80 40,96 484,00 121,00
3 11,00 7,20 23,00 79,20 253,00 165,60 51,84 529,00 121,00
4 12,00 7,50 25,00 90,00 300,00 187,50 56,25 625,00 144,00
5 12,00 7,90 27,00 94,80 324,00 213,30 62,41 729,00 144,00
6 13,00 8,10 30,00 105,30 390,00 243,00 65,61 900,00 169,00
7 13,00 8,40 31,00 109,20 403,00 260,40 70,56 961,00 169,00
8 13,00 8,60 32,00 111,80 416,00 275,20 73,96 1 024,00 169,00
9 14,00 9,50 35,00 133,00 490,00 332,50 90,25 1 225,00 196,00
10 15,00 9,50 36,00 142,50 540,00 342,00 90,25 1 296,00 225,00
сумма 125,00 79,40 283,00 1 005,50 3 600,00 2 298,90 641,78 8 257,00 1 579,00
среднее 12,50 7,94 28,30 100,55 360,00 229,89 64,18 825,70 157,90
Коэффициенты парной корреляции указывают на весьма сильную связь каждого фактора с результатом у, а также высокую межфакторную зависимость (факторы x1 и x2 явно коллинеарны, т.к. rx1x2 = 0,978 >0,7). При такой сильной межфакторной зависимости рекомендуется один из факторов исключить из рассмотрения.
Составим систему линейных уравнений относительно параметров b0, b1, b2:
10b0+79,40b1+283b2=12579,40b0+641,78b1+2 298,90b2=1 005,50283b0+2 298,90b1+8 257b2=3 600
Находим параметры линейной множественной регрессии:
b1=σyσx1×ryx1-ryx2×rx1x21-rx1x22=1,2851,065×0,950-0,977×0,9781-0,9782= -0,140;
b2=σyσx2×ryx2-ryx1×rx1x21-rx1x22=1,2854,981×0,977-0,950×0,9781-0,9782= 0,281;
b0=y-b1x1-b2x2=12,50-(-0,140)×7,94-0,281×28,30= 5,654.
Таким образом, получим уравнение множественной регрессии:
y = 5,654-0,140 × x1 +0,281 × x2.
Уравнение регрессии показывает, что при увеличении ввода в действие основных фондов на 1% (при неизменном уровне удельного веса рабочих высокой квалификации) выработка продукции на одного рабочего снижается в среднем на 0,140 тыс . руб., а при увеличении удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих на 1% (при неизменном уровне ввода в действие новых основных фондов) выработка продукции на одного рабочего увеличивается в среднем на 0,281 тыс. руб. Коэффициенты стандартизированного уравнения регрессии:
β1=b1×σyσx1=-0,140×1,2851,065= -0,116;
β2=b2×σyσx2=0,281×1,2854,981= 1,090.
Таким образом, уравнение в стандартизированном виде:
ty=-0,116×tx1+1,090×tx2.
Так как стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать между собой, то можно сказать, что удельный вес рабочих высокой квалификации оказывает большее влияние на выработку продукции, чем ввод в действие новых основных фондов.
Сравнивать влияние факторов на результат можно также при помощи средних коэффициентов эластичности:
Y1=b1×x1y=-0,140×7,9412,50= -0,089;
Y2=b2×x2y=0,281×28,3012,50=0,637.
Таким образом, увеличение только основных фондов (от своего среднего значения) снижает в среднем выработку продукции на 0,089% и увеличение только удельного веса рабочих высокой квалификации на 1% увеличивает в среднем выработку продукции на 0,637% соответственно. Таким образом, подтверждается большее влияние на результат y фактора x2 чем x1.
2.Найти коэффициенты парной, частной и множественной корреляции. Проанализировать их.
Парные коэффициенты корреляции определены в пункте 1 данной работы:
ryx1=cov(y,x1)σyσx1=100,55-12,50×7,94 1,285× 1,065 = 0,950;
ryx2=cov(y,x2)σyσx2=360-12,50×28,30 1,285×4,981 = 0,977;
rx1x2=cov(x1,x2)σx1σx2=229,89-7,94×28,301,065 × 4,981 = 0,978 .
Коэффициенты парной корреляции указывают на весьма сильную связь каждого фактора с результатом у, а также высокую межфакторную зависимость (факторы x1 и x2 явно коллинеарны, т.к. rx1x2 = 0,978 >0,7). При такой сильной межфакторной зависимости рекомендуется один из факторов исключить из рассмотрения.
Определим частные коэффициенты корреляции:
ryx1∙x2=ryx1-ryx2×rx1x21-ryx22×1-rx1x22=0,950-0,977×0,978(1-0,9772)×(1-0,9782)= -0,113;
ryx2∙x1=ryx2-ryx1×rx1x21-ryx12×1-rx1x22=0,977-0,950×0,978(1-0,9502)×(1-0,9782)= 0,731.
Если сравнить коэффициенты парной и частной корреляции, то можно увидеть, что из-за высокой межфакторной зависимости коэффициенты парной корреляции дают завышенные оценки тесноты связи