По заданным вершинам A,B,C треугольника ABC найти:
1) длину стороны AB;
2) уравнения сторон AB и AC;
3) угол A в радианах с точностью до двух знаков;
4) уравнение высоты BD, проведенной из вершины B к стороне AC и её длину;
5) уравнение медианы CM, проведенной из вершины C к стороне AB;
6) уравнение прямой BP, проходящей через точку B параллельно стороне AC;
7) координаты точки E пересечения медиан треугольника.
A-1;-8;B0;3;C(11;-1)
Решение
Найдём координаты вектора AB:
AB=(0--1;3--8=(1;11)
Тогда длина данной стороны равна:
AB=AB=12+112=1+121=122
2) Найдём уравнения сторон как уравнения прямых, проходящих через две точки:
x-x1x2-x1=y-y1y2-y1
Для стороны AB получаем следующие канонические уравнения:
x-(-1)0-(-1)=y-(-8)3-(-8)
x+11=y+811
Также представим уравнение прямой AB с угловым коэффициентом, получим:
y+8=11(x+1)
y+8=11x+11
y=11x+3
Для стороны AC получаем следующие канонические уравнения:
x-(-1)11-(-1)=y-(-8)-1-(-8)
x+112=y+87
Также представим уравнение прямой AC с угловым коэффициентом, получим:
12*y+8=7*(x+1)
12y+96=7x+7
12y=7x+7-96
12y=7x-89
y=712x-8912
3) Найдём угол A как угол между прямыми AB и AC:
tg φ=k2-k11+k2*k1
Используя найденные уравнения прямых AB и AC с угловыми коэффициентами, получаем, что:
tg φ=712-111+712*11=12589
φ=arctg12589=54,55°≈0,94 радиан
4) Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:
x-x0A=y-y0B
Прямая BD перпендикулярна прямой AC, общее уравнение прямой AC выглядит так:
12y-7x+89=0
Тогда искомое каноническое уравнение высоты BD выглядит так:
x-0-7=y-312
x-7=y-312
Представим также уравнение высоты BD как уравнение прямой с угловым коэффициентом:
-7*y-3=12x
-7y+21=12x
-7y=12x-21
y=-127x+3
5) Найдём координаты точки M как координаты середины отрезка AB, получим:
xM=-1+02=-12
yM=-8+32=-52
Значит, точка M имеет следующие координаты:
M-12;-52
Уравнение медианы CM найдём как уравнение прямой, проходящей через две точки C и M, получим следующие канонические уравнения:
x-11-12-11=y-(-1)-52-(-1)
x-11-232=y+1-32
Также представим уравнение медианы CM как уравнение прямой с угловым коэффициентом:
-232y+1=-32(x-11)
-232y-232=-32x+332
-232y=-32x+28
y=323x-5623
6) Уравнение прямой AC с угловым коэффициентом выглядит так:
y=712x-8912
Уравнение прямой BP параллельно прямой AC найдём по формуле:
y-y0=k(x-x0)
Имеем, что:
y0=3; x0=0;k=712
Тогда получаем, что искомое уравнение прямой BP, параллельной прямой AC, выглядит так:
y-3=712(x-0)
y=712x+3
7) Найдём уравнение медианы AH, проведенной из вершины A, сначала найдём координаты точки H:
xH=0+112=112
yH=3-12=22=1
Тогда точка H имеет следующие координаты:
H112;1
Тогда уравнение данной медианы выглядит так:
x-(-1)112-(-1)=y-(-8)1-(-8)
x+1132=y+89
132y+8=9(x+1)
132y+52=9x+9
132y=9x-43
y=1813x-8613
Найдём точку пересечения медиан, имеем уравнение:
1813x-8613=323x-5623
1813x-323x=-5623+8613
414299x-39299x=-728299+1978299
375299x=1250299
x=1250299*299375=1250375=103
y=1813*103-8613=18039-8613=18039-25839=-7839=-2
Значит, точка пересечения медиан имеет следующие координаты:
E103;-2
Чертёж представим на Рисунке 1:
Рисунок 1-Чертёж.
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
