По данным отчетного баланса П1 П2 П3 Yi

А) По формуле aij = xij / xj находим коэффициенты прямых затрат:a11 = 40/200 = 0.2;
a12 = 60/400 = 0.15;
a13 = 80/600 = 0.133;
a21 = 80/200 = 0.4;
a22 = 80/400 = 0.2;
a23 = 200/600 = 0.333;
a31 = 60/200 = 0.3;
a32 = 80/400 = 0.2;
a33 = 300/600 = 0.5
0.2 0.15 0.133
0.4 0.2 0.333
0.3 0.2 0.5
Коэффициент прямых затрат (aij) показывает, какое количество продукции i-й отрасли необходимо, учитывая только прямые затраты, для производства единицы продукции j-й отрасли.
Если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов прямых затрат A = (aij), вектор-столбец валовой продукции X = (Xi) и вектор-столбец конечной продукции Y = (Yi), то математическая модель межотраслевого баланса примет вид:
X = AX +Y
Матрица A имеет неотрицательные элементы и удовлетворяет критерию продуктивности (при любом j сумма элементов столбца ∑aij ≤ 1.
Определим матрицу коэффициентов полных затрат B-1 с помощью формул обращения невырожденных матриц.
Коэффициент полных затрат (bij) показывает, какое количество продукции i-й отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой продукции получить единицу конечной продукции j-й отрасли.
Полные затраты отражают использование ресурса на всех этапах изготовления и равны сумме прямых и косвенных затрат на всех предыдущих стадиях производства продукции.
а) Находим матрицу (E-A):
(E-A) = 0,8 -0,15 -0,133
-0,4 0,8 -0,333
-0,3 -0,2 0,5
б) Вычисляем обратную матрицу (E-A)-1:Запишем матрицу в виде:
0,8 -0,15 -0,133
-0,4 0,8 -0,333
-0,3 -0,2 0,5
Главный определитель∆=0.8∙(0.8∙0.5-(-0.2∙(-0.33)))-(-0.4∙(-0.15∙0.5-(-0.2∙(-0.13))))+
+(-0.3∙(-0.15∙(-0.33)-0.8∙(-0.13)))=0.179
Определитель отличен от нуля, следовательно, матрица является невырожденной и для нее можно найти обратную матрицу B-1.
Транспонированная матрица.
BT= 0,8 -0,4 -0,3
-0,15 0,8 -0,2
-0,133 -0,333 0,5
Найдем алгебраические дополнения матрицы BT.
BT1,1=(-1)1+1 0,8 -0,2
-0,333 0,5
∆1,1=(0.8∙0.5-(-0.33∙(-0.2)))=0.3333
BT1,2=(-1)1+2 -0,15 -0,2
-0,133 0,5
∆1,2=-(-0.15∙0.5-(-0.13∙(-0.2)))=0.1017
BT1,3=(-1)1+3 -0,15 0,8
-0,133 -0,333
∆1,3=(-0.15∙(-0.33)-(-0.13∙0.8))=0.1567
BT2,1=(-1)2+1 -0,4 -0,3
-0,333 0,5
∆2,1=-(-0.4∙0.5-(-0.33∙(-0.3)))=0.3
BT2,2=(-1)2+2 0,8 -0,3
-0,133 0,5
∆2,2=(0.8∙0.5-(-0.13∙(-0.3)))=0.36
BT2,3=(-1)2+3 0,8 -0,4
-0,133 -0,333
∆2,3=-(0.8∙(-0.33)-(-0.13∙(-0.4)))=0.32
BT3,1=(-1)3+1 -0,4 -0,3
0,8 -0,2
∆3,1=(-0.4∙(-0.2)-0.8∙(-0.3))=0.32
BT3,2=(-1)3+2 0,8 -0,3
-0,15 -0,2
∆3,2=-(0.8∙(-0.2)-(-0.15∙ (-0.3)))=0.205
BT3,3=(-1)3+3 0,8 -0,4
-0,15 0,8
∆3,3=(0.8∙0.8-(-0.15∙(-0.4)))=0.58
Обратная матрица.
0,333 0,102 0,157
0,3 0,36 0,32
0,32 0,205 0,58
B-1= 1,862 0,568 0,875
1,676 2,011 1,788
1,788 1,145 3,24
б) по заданному вектору X найдем вектор Y.
Вектор конечного потребления Y найдем по формуле Y = (E – A)X.
Y= 0,8 -0,15 -0,133 ∙ 220
-0,4 0,8 -0,333
550
-0,3 -0,2 0,5
500
Вычисляем элемент новой матрицы (1,1): работаем с 1-ой строкой и с 1-м столбцом.
Получаем: 0.8∙220+(-0.15)∙550+(-0.133)∙500 = 27
Вычисляем элемент новой матрицы (2,1): работаем с 2-ой строкой и с 1-м столбцом.
Получаем: (-0.4)∙220+0.8∙550+(-0.333) ∙500 = 185.5Вычисляем элемент новой матрицы (3,1): работаем с 3-ой строкой и с 1-м столбцом.
Получаем: (-0.3)∙220+(-0.2)∙550+0.5∙500 = 74
Y= 27
185,5
74
в) по заданному вектору Y найдем вектор X.
Вектор валовой продукции X найдем из соотношения X = BY.
Х= 0,8 -0,4 -0,3 ∙ 100
-0,15 0,8 -0,2
150
-0,133 -0,333 0,5
100
Вычисляем элемент новой матрицы (1,1): работаем с 1-ой строкой и с 1-м столбцом.
Получаем: 0.8∙100+(-0.4)∙150+(-0.3)∙100 = -10
Вычисляем элемент новой матрицы (2,1): работаем с 2-ой строкой и с 1-м столбцом.
Получаем: (-0.15)∙100+0.8∙150+(-0.2)∙100 = 85
Вычисляем элемент новой матрицы (3,1): работаем с 3-ой строкой и с 1-м столбцом.
Получаем: (-0,133)∙100+(-0.333)∙150+0.5∙100 = -13.25
Х= -10
85
-13,25