По данным отчетного баланса
П1 П2 П3 Yi
Xi
П1 40 60 80 20 200
П2 80 80 200 40 400
П3 60 80 300 160 600
Zj
20 180 20
Xj
200 400 600
найдите
а) матрицу прямых затрат, проверьте полученную матрицу на продуктивность;
б) по заданному вектору
220
X= 550
500
QUOTE 220550500 найдите вектор Y;
в) по заданному вектору
100
Y= 150
100
найдите вектор Х.
Решение
А) По формуле aij = xij / xj находим коэффициенты прямых затрат:a11 = 40/200 = 0.2;
a12 = 60/400 = 0.15;
a13 = 80/600 = 0.133;
a21 = 80/200 = 0.4;
a22 = 80/400 = 0.2;
a23 = 200/600 = 0.333;
a31 = 60/200 = 0.3;
a32 = 80/400 = 0.2;
a33 = 300/600 = 0.5
0.2 0.15 0.133
0.4 0.2 0.333
0.3 0.2 0.5
Коэффициент прямых затрат (aij) показывает, какое количество продукции i-й отрасли необходимо, учитывая только прямые затраты, для производства единицы продукции j-й отрасли.
Если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов прямых затрат A = (aij), вектор-столбец валовой продукции X = (Xi) и вектор-столбец конечной продукции Y = (Yi), то математическая модель межотраслевого баланса примет вид:
X = AX +Y
Матрица A имеет неотрицательные элементы и удовлетворяет критерию продуктивности (при любом j сумма элементов столбца ∑aij ≤ 1.
Определим матрицу коэффициентов полных затрат B-1 с помощью формул обращения невырожденных матриц.
Коэффициент полных затрат (bij) показывает, какое количество продукции i-й отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой продукции получить единицу конечной продукции j-й отрасли.
Полные затраты отражают использование ресурса на всех этапах изготовления и равны сумме прямых и косвенных затрат на всех предыдущих стадиях производства продукции.
а) Находим матрицу (E-A):
(E-A) = 0,8 -0,15 -0,133
-0,4 0,8 -0,333
-0,3 -0,2 0,5
б) Вычисляем обратную матрицу (E-A)-1:Запишем матрицу в виде:
0,8 -0,15 -0,133
-0,4 0,8 -0,333
-0,3 -0,2 0,5
Главный определитель∆=0.8∙(0.8∙0.5-(-0.2∙(-0.33)))-(-0.4∙(-0.15∙0.5-(-0.2∙(-0.13))))+
+(-0.3∙(-0.15∙(-0.33)-0.8∙(-0.13)))=0.179
Определитель отличен от нуля, следовательно, матрица является невырожденной и для нее можно найти обратную матрицу B-1.
Транспонированная матрица.
BT= 0,8 -0,4 -0,3
-0,15 0,8 -0,2
-0,133 -0,333 0,5
Найдем алгебраические дополнения матрицы BT.
BT1,1=(-1)1+1 0,8 -0,2
-0,333 0,5
∆1,1=(0.8∙0.5-(-0.33∙(-0.2)))=0.3333
BT1,2=(-1)1+2 -0,15 -0,2
-0,133 0,5
∆1,2=-(-0.15∙0.5-(-0.13∙(-0.2)))=0.1017
BT1,3=(-1)1+3 -0,15 0,8
-0,133 -0,333
∆1,3=(-0.15∙(-0.33)-(-0.13∙0.8))=0.1567
BT2,1=(-1)2+1 -0,4 -0,3
-0,333 0,5
∆2,1=-(-0.4∙0.5-(-0.33∙(-0.3)))=0.3
BT2,2=(-1)2+2 0,8 -0,3
-0,133 0,5
∆2,2=(0.8∙0.5-(-0.13∙(-0.3)))=0.36
BT2,3=(-1)2+3 0,8 -0,4
-0,133 -0,333
∆2,3=-(0.8∙(-0.33)-(-0.13∙(-0.4)))=0.32
BT3,1=(-1)3+1 -0,4 -0,3
0,8 -0,2
∆3,1=(-0.4∙(-0.2)-0.8∙(-0.3))=0.32
BT3,2=(-1)3+2 0,8 -0,3
-0,15 -0,2
∆3,2=-(0.8∙(-0.2)-(-0.15∙ (-0.3)))=0.205
BT3,3=(-1)3+3 0,8 -0,4
-0,15 0,8
∆3,3=(0.8∙0.8-(-0.15∙(-0.4)))=0.58
Обратная матрица.
0,333 0,102 0,157
0,3 0,36 0,32
0,32 0,205 0,58
B-1= 1,862 0,568 0,875
1,676 2,011 1,788
1,788 1,145 3,24
б) по заданному вектору X найдем вектор Y.
Вектор конечного потребления Y найдем по формуле Y = (E – A)X.
Y= 0,8 -0,15 -0,133 ∙ 220
-0,4 0,8 -0,333
550
-0,3 -0,2 0,5
500
Вычисляем элемент новой матрицы (1,1): работаем с 1-ой строкой и с 1-м столбцом.
Получаем: 0.8∙220+(-0.15)∙550+(-0.133)∙500 = 27
Вычисляем элемент новой матрицы (2,1): работаем с 2-ой строкой и с 1-м столбцом.
Получаем: (-0.4)∙220+0.8∙550+(-0.333) ∙500 = 185.5Вычисляем элемент новой матрицы (3,1): работаем с 3-ой строкой и с 1-м столбцом.
Получаем: (-0.3)∙220+(-0.2)∙550+0.5∙500 = 74
Y= 27
185,5
74
в) по заданному вектору Y найдем вектор X.
Вектор валовой продукции X найдем из соотношения X = BY.
Х= 0,8 -0,4 -0,3 ∙ 100
-0,15 0,8 -0,2
150
-0,133 -0,333 0,5
100
Вычисляем элемент новой матрицы (1,1): работаем с 1-ой строкой и с 1-м столбцом.
Получаем: 0.8∙100+(-0.4)∙150+(-0.3)∙100 = -10
Вычисляем элемент новой матрицы (2,1): работаем с 2-ой строкой и с 1-м столбцом.
Получаем: (-0.15)∙100+0.8∙150+(-0.2)∙100 = 85
Вычисляем элемент новой матрицы (3,1): работаем с 3-ой строкой и с 1-м столбцом.
Получаем: (-0,133)∙100+(-0.333)∙150+0.5∙100 = -13.25
Х= -10
85
-13,25
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
