Плотность вероятности f(x) случайной величины Х имеет вид ломаной с вершинами (-4;0) (7;0) (0;m). Требуется найти:
– число m;
– математическое ожидание МХ;
– дисперсию DX;
– функцию распределения F(x) и построить графики функции f(x) и F(x).
Решение
Из свойства нормировки функции плотности распределения вероятностей делаем вывод, что площадь ∆ABC равна 1. Находим параметр m:
S∆ABC=12∙AC∙m=12∙11∙m=1⟹m=211
Запишем уравнения прямых AB и BC:
AB: x+40+4=y-0211-0⟹y=122x+211=122x+4
BC: x-07-0=y-2110-211⟹y=-277x+211=-277x-7
Запишем функцию плотности вероятности:
fx=0, x≤-4122x+4, -4<x≤0-277x-7, 0<x≤70, x>7
Построим график функции плотности:
Запишем функцию распределения
1) x≤-4: F(x)=-∞x0dz=0
2)-4<x≤0: Fx=-∞-40dz+122-4xz+4 dz=144z+42-4x=144x+42
3) 0<x≤7: x=-∞-40dz+122-40z+4 dz-2770xz-7 dz=144z+42-40-
-177z-720x=411-177x-72+711=1-177x-72
4) x>5 : Fx=1.
Fx=0, x≤-4144x+42, -4<x≤01-177x-72, 0<x≤71, x>7
Построим график функции распределения:
Вычислим математическое ожидание и дисперсию:
MX=122-40xx+4 dz-27707xx-7 dz=122x33+2x2-40-
-277x33-72x207=122643-32-2773433-3432=1.
MX2=122-40x2x+4 dz-27707x2x-7 dz=122x44+43x3-40-
-277x44-73x307=122-64+2563-27724014-24013=376.
DX=MX2-M2X=376-1=316≈5.167.
на новый заказ в Автор24.
