Плотность вероятности случайной величины X имеет вид

Найти параметр a
Плотность вероятности fx должна удовлетворять условию
-∞∞fxdx=1
Для заданной функции
-∞∞fxdx=-∞00dx+0∞ae-3xdx=0∞ae-3xdx=-a3e-3x0∞=a3=1
a3=1 ⟹a=3
Плотность вероятности имеет вид
fx=0, x≤0,3e-3x, 0<x.
Найти функцию Fx
Используем формулу
Fx=-∞xftdt
Если -∞<x≤0, то fx=0, следовательно,
Fx=-∞x0dt=0
Если 0<x<+∞, то
Fx=-∞00dt+0x3e-3tdt=-e-3x0x=-e-3x+1=1-e-3x
Функция распределения имеет вид
Fx=0, x≤0,1-e-3x, 0<x.
Построить график fx и Fx
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X
Математическое ожидание
MX=-∞∞xfxdx=-∞0x∙0dx+0∞x∙3e-3xdx=0∞3xe-3xdx=u=xdv=3e-3xdxdu=dxv=-e-3x=-xe-3x0∞+0∞e-3xdx=-13e-3x0∞=13
Для нахождения дисперсии предварительно найдем
MX2=-∞∞x2fxdx=-∞0x2∙0dx+0∞x2∙3e-3xdx=0∞3x2e-3xdx=u=x2dv=3e-3xdxdu=2xdxv=-e-3x=-x2e-3x0∞+0∞2xe-3xdx=u=xdv=e-3xdxdu=dxv=-13e-3x=-23xe-3x0∞+20∞13e-3xdx=-29e-3x0∞=29
Дисперсия
DX=MX2-MX2=29-132=29-19=19
Также математическое ожидание и дисперсию можно найти из того, что случайная величина X имеет показательное распределение, то есть распределения с функцией распределения
Fx=0, x≤0,1-e-λx, 0<x.
λ=3 – параметр распределения