Плотность распределения случайной величины ξ выражается формулой

Найти неизвестную константу C и построить график функции плотности px (кривую распределения).
Плотность распределения px должна удовлетворять условию
-∞∞pxdx=1
Для заданной функции
-∞∞pxdx=-∞∞C∙e-2xdx=-∞0Ce2xdx+0∞Ce-2xdx=C2e2x-∞0-C2e-2x0∞=C2+C2=C=1
C=1
Плотность распределения имеет вид
px=e-2x -∞<x<∞
Найти функцию распределения Fx, построить график этой функции.
Используем формулу
Fx=-∞xpxdx
Если -∞<x≤0, то
Fx=-∞xe2xdx=12e2x-∞x=12e2x
Если 0<x<+∞, то
Fx=-∞0e2xdx+0xe-2xdx=12e2x-∞0-12e-2x0x=12-12e-2x+12=1-12e-2x
Функция распределения имеет вид
Fx=12e2x, при-∞<x≤01-12e-2x, при 0<x<+∞
Вычислить математическое ожидание Mξ, дисперсию Dξ и среднее квадратическое отклонение σξ.
Математическое ожидание
Mξ=-∞∞xpxdx=-∞0x∙e2xdx+0∞x∙e-2xdx=u=xdv=e2xdxdu=dxv=12e2x; u=xdv=e-2xdxdu=dxv=-12e-2x==x12e2x-∞0--∞012e2xdx-x12e-2x0∞+0∞12e-2xdx=-14e2x-∞0-14e-2x0∞=-14+14=0
Дисперсия
Dξ=-∞∞x2pxdx-Mξ2=-∞0x2∙e2xdx+0∞x2∙e-2xdx-02=u=x2dv=e2xdxdu=2xdxv=12e2x; u=x2dv=e-2xdxdu=2xdxv=-12e-2x=x212e2x-∞0--∞0xe2xdx-x212e-2x0∞+0∞xe-2xdx=u=xdv=e2xdxdu=dxv=12e2x; u=xdv=e-2xdxdu=dxv=-12e-2x=-x12e2x-∞0+-∞012e2xdx-x12e-2x0∞+0∞12e-2xdx=14e2x-∞0-14e-2x0∞=14+14=24=12=0,5
Среднее квадратическое отклонение
σξ=Dξ=0,5≈0,7071
Определить вероятность Pξ<Mξ, Pξ≥0,6, Pξ-Mξ≤σξ.
Pξ<Mξ=Pξ<0=-∞0p(x)dx=-∞0e2xdx=12e2x-∞0=12=0,5
Pξ≥0,6=1-P-∞<ξ<0,6=1--∞0e2xdx+00,6e-2xdx=1-12e2x-∞0-12e-2x00,6=1-12-12e-1,2+12=1--12e-1,2+1≈1-0,849403≈0,1506
Pξ-Mξ≤σξ=Pξ-0≤0,7071=P-0,7071≤ξ≤0,7071=F0,7071-F-0,7071=1-12e-2∙0,7071-12e-2∙0,7071=1-e-1,4142≈0,7569
Интерпретировать заданные вероятности на графике плотности случайной величины ξ.
Pξ<Mξ=Pξ<0=0,5
Вероятность численно равна площади выделенной серым цветом фигуры.
Pξ≥0,6=0,1506
Вероятность численно равна площади выделенной серым цветом фигуры.
Pξ-Mξ≤σξ=Pξ-0≤0,7071=P-0,7071≤ξ≤0,7071=0,7569
Вероятность численно равна площади выделенной серым цветом фигуры.