Плотность распределения случайной величины имеет вид

Найдем постоянную А из условия нормировки
-∞∞fxdx=1
Получаем:
-∞∞fxdx=-∞-30dx+-33A1+x2-1dx+3∞0dx=
=A-3311+x2dx=A∙arctgx3-3=A∙arctg3-arctg-3=
=A∙arctg3-arctg-3=A∙π3+π3=A∙2π3
A∙2π3=1⇒A=32π
Плотность распределения имеет вид
fx=0, x>332π1+x2-1, x<3
Найдем функцию распределения F(x) по определению
Fx=-∞xftdt
Получаем
Пусть x<-3, тогда fx=0, тогда Fx=-∞xftdt=-∞x0dt=0
Пусть -3≤x≤3, тогда fx=32π1+x2-1, тогда Fx=-∞xftdt=-∞-30dt+-3x32π1+t2-1dt=32π-3xdt1+t2=
=32πarctgtx-3=32πarctgx-arctg-3=
=32πarctgx+π3=32πarctgx+12
Пусть x>3, тогда fx=0, тогда Fx=-∞xftdt=-∞-10dt+-3332π1+t2-1dt+x∞0dt=
=32π-33dt1+t2=32πarctgt3-3=32πarctg3-arctg-3=
=32ππ3+π3=32π∙2π3=1
Функция распределения имеет вид:
Fx=0, x<-332πarctgx+12, x≤31, x>3
Найдем математическое ожидание:
MX=-∞+∞fx∙xdx =-∞-30∙xdx+-3332π1+x2-1∙xdx+3∞0∙xdx
=32π-332x21+x2dx=32π-332x21+x2dx=34π-33d(1+x2)1+x2=
=34π∙ln1+x23-3=34π∙ln1+32-ln1+-32=
=34π∙ln1+3-ln1+3=34π∙ln4-ln4=0
Найдем дисперсию:
DX=-∞+∞fxx2dx –MX2=-∞+∞fx∙xdx =
=-∞-30∙x2dx+-3332π1+x2-1∙x2dx+3∞0∙x2dx-02=
=32π-33x21+x2dx=32π-331+x2-11+x2dx=32π-331-11+x2dx=
=32π∙x-arctgx3-3=
=32π∙3-arctg3--3-arctg-3
=32π∙3-π3+3-π3=32π∙23-2π3=32π∙63-2π3=
=33-ππ≈0,654
Вероятность того, что Х примет значение
Р-1≤x≤3=F3-F-1=1-32πarctg(-1)+12=
=1+32π∙π4-12=12+38=78
Ответ