Периодические несинусоидальные токи в линейных цепях

1) Рассчитаем схему при нулевой гармонике.
Эквивалентное сопротивление цепи:
Z0=r1+r2=2+10=12 Ом
Ток в неразветвленной части цепи:
I1m0=I2m0=U0Z0=24012=20 А
I3m0=I4m0=0
2) Рассчитаем схему при первой гармонике.
Определяем полные сопротивления ветвей цепи:
Z11=r1+jXL11=2+j4=4,472ej63,435° Ом
Z21=r2=10 Ом
Z31=jXL31-jXC31=-j25+j1=-j24=24e-j90° Ом
Z41=-jXC41=-j23=23e-j90° Ом
Рассчитываем эквивалентное сопротивление параллельного участка цепи:
Z341=Z31∙Z41Z31+Z41=24e-j90°∙23e-j90°-j24-j23=552e-j180°-j47=552e-j180°47e-j90°=11,745e-j90°=-j11,745 Ом
Z2341=Z21∙Z341Z21+Z341=10∙11,745e-j90°10-j11,745=117,45e-j90°15,425e-j49,587°=7,614e-j40,413°=5,797-j4,936 Ом
Вычисляем эквивалентное сопротивление цепи:
Z1=Z11+Z2341=2+j4+5,797-j4,936=7,797-j0,936=7,853e-j6,845° Ом
Ток в неразветвленной части цепи:
I1m1=Um1Z1=1007,853e-j6,845°=12,734ej6,845°=12,643+j1,518 А
Рассчитываем напряжение на параллельном участке цепи:
U234m1=I1m1∙Z2341=12,734ej6,845°∙7,614e-j40,413°=96,953e-j33,567°=80,785-j53,607 В
Вычисляем токи в параллельных ветвях цепи:
I2m1=U234m1Z21=96,953e-j33,567°10=9,695e-j33,567°=8,079-j5,361 А
I3m1=U234m1Z31=96,953e-j33,567°24e-j90°=4,04ej56,433°=2,234+j3,366 А
I4m1=U234m1Z41=96,953e-j33,567°23e-j90°=4,215ej56,433°=2,331+j3,512 А
3) Рассчитаем схему при пятой гармонике.
Сопротивления реактивных элементов цепи:
XL15=5XL11=5∙4=20 Ом
XC35=XC315=255=5 Ом
XL35=5XL31=5∙1=5 Ом
XC45=XC415=235=4,6 Ом
Определяем полные сопротивления ветвей цепи:
Z15=r1+jXL15=2+j20=20,1ej84,289° Ом
Z25=r2=10 Ом
Z35=jXL35-jXC35=-j5+j5=0 Ом
Z45=-jXC45=-j4,6=4,6e-j90° Ом
Рассчитываем эквивалентное сопротивление параллельного участка цепи:
Z345=Z35∙Z45Z35+Z45=0∙4,6e-j90°0-j4,6=0
Z2345=Z25∙Z345Z25+Z345=10∙010+0=0
Вычисляем эквивалентное сопротивление цепи:
Z5=Z15+Z2345=2+j20+0=2+j20=20,1ej84,289° Ом
Ток в неразветвленной части цепи:
I1m5=Um5Z5=10020,1ej84,289°=4,975e-j84,289°=0,495-j4,95 А
Рассчитываем напряжение на параллельном участке цепи:
U234m5=I1m5∙Z2345=4,975e-j84,289°∙0=0
Вычисляем токи в параллельных ветвях цепи:
I2m5=0
I3m5=I1m5=4,975e-j84,289°=0,495-j4,95 А
I4m5=0
Действующие значения токов в ветвях и напряжения на входе цепи:
I1=I1m02+I1m12+I1m522=202+12,7342+4,97522=17,13 А
I2=I2m02+I2m12+I2m522=202+9,6952+022=15,716 А
I3=I3m02+I3m12+I3m522=02+4,042+4,97522=4,532 А
I4=I4m12+I4m02+I4m522=02+4,2152+022=2,981 А
U=Um02+Um12+Um522=2402+1002+10022=196,977 В
Записываем мгновенные токов в ветвях и напряжения на входе цепи:
i1t=20+12,734sinωt+6,845°+4,975sin5ωt-84,289° А
i2t=20+9,695sinωt-33,567° А
i3t=4,04sinωt+56,433°+4,975sin5ωt-84,289° А
i4t=4,215sinωt+56,433° А
ut=240+100sinωt+100sin5ωt В
Активная мощность, потребляемые во всех ветвях:
P=I1m02+I1m12+I1m522r1+I2m02+I2m12+I2m522r2=202+12,7342+4,97522∙2+202+9,6952+022∙10=3056,897 Вт
Активная мощность, отдаваемая источником:
P=U0I0cosφ0+U1I1cosφ1+U5I5cosφ5=240∙202∙1+100∙12,7342∙0,993+100∙4,9752∙0,1=3056,897 Вт
где
cosφ0=ReZ0Z0=1212=1
cosφ1=ReZ1Z1=7,7977,853=0,993
cosφ5=ReZ5Z5=220,1=0,1