Периодические несинусоидальные токи в линейных цепях

1) Рассчитаем схему при первой гармонике.
Определяем полные сопротивления ветвей цепи:
Z11=jXL11-jXC11=j6-j12=-j6=6e-j90° Ом
Z21=r2+jXL21=10+j10=14,142ej45° Ом
Z31=-jXC31=-j30=30e-j90° Ом
Рассчитываем эквивалентное сопротивление параллельного участка цепи:
Z231=Z21∙Z31Z21+Z31=14,142ej45°∙30e-j90°10+j10-j30=424,264e-j45°10-j20=424,264e-j45°22,361e-j63,435°=18,974ej18,435°=18+j6 Ом
Вычисляем эквивалентное сопротивление цепи:
Z1=Z11+Z231=-j6+18+j6=18 Ом
Рассчитываем напряжение на параллельном участке цепи:
U23m1=I2m1∙Z21=5∙14,142ej45°=70,711ej45°=50+j50 В
Определяем ток в неразветвленной части цепи:
I1m1=U23m1Z231=70,711ej45°18,974ej18,435°=3,727ej26,565°=3,333+j1,667 А
Напряжение на входе цепи:
Um1=I1m1∙Z1=3,727ej26,565°∙18=67,082ej26,565°=60+j30 В
Вычисляем ток в третьей ветви цепи:
I3m1=U23m1Z31=70,711ej45°30e-j90°=2,357ej135°=-1,667+j1,667 А
2) Рассчитаем схему при третьей гармонике.
Сопротивления реактивных элементов цепи:
XL13=3XL11=3∙6=18 Ом
XC13=XC113=123=4 Ом
XL23=3XL21=3∙10=30 Ом
XC33=XC313=303=10 Ом
Определяем полные сопротивления ветвей цепи:
Z13=jXL13-jXC13=j18-j4=j14=14ej90° Ом
Z23=r2+jXL23=10+j30=31,623ej71,565° Ом
Z33=-jXC33=-j10=10e-j90° Ом
Рассчитываем эквивалентное сопротивление параллельного участка цепи:
Z233=Z23∙Z33Z23+Z33=31,623ej71,565°∙10e-j90°10+j30-j10=316,23e-j18,435°10+j20=316,23e-j18,435°22,361ej63,435°=14,142e-j81,87°=2-j14 Ом
Вычисляем эквивалентное сопротивление цепи:
Z3=Z13+Z233=j14+2-j14=2 Ом
Рассчитываем напряжение на параллельном участке цепи:
U23m3=I2m3∙Z23=2∙31,623ej71,565°=63,246ej71,565°=20+j60 В
Определяем ток в неразветвленной части цепи:
I1m3=U23m3Z233=63,246ej71,565°14,142e-j81,87°=4,472ej153,435°=-4+j2 А
Напряжение на входе цепи:
Um3=I1m3∙Z3=4,472ej153,435°∙2=8,944ej153,435°=-8+j4 В
Вычисляем ток в третьей ветви цепи:
I3m3=U23m3Z33=63,246ej71,565°10e-j90°=6,325ej161,565°=-6+j2 А
Действующие значения токов в ветвях и напряжения на входе цепи:
I1=I1m12+I1m322=3,7272+4,47222=4,116 А
I2=I2m12+I2m322=52+222=3,808 А
I3=I3m12+I3m322=2,3572+6,32522=4,773 А
U=Um12+Um322=67,0822+8,94422=47,854 В
Записываем мгновенные токов в ветвях и напряжения на входе цепи:
i1t=3,727sinωt+26,565°+4,472sin3ωt+153,435° А
i2t=5sinωt+2sin3ωt А
i3t=2,357sinωt+135°+6,325sin3ωt+161,565° А
ut=67,082sinωt+26,565°+8,944sin3ωt+153,435° В
Активная мощность, потребляемые во всех ветвях:
P=I22r2=3,8082∙10=145 Вт
Активная мощность, отдаваемая источником:
P=U1I1cosφ1+U3I3cosφ3=67,082∙3,7272∙1+8,944∙4,4722∙1=145 Вт
где cosφ1=cosφ3=1, т.к